Алгебра, тригонометрия 1) sin a=1/9, cos a=8/9 2) cos a=3/4, tg a=√7/3 3) зная, что sin a + cos a = 1/2, найти 2sin a + cos a 4) зная, что sin a + cos a = 1/2, найти sin^4 a + cos^4 a 5) вычислить sin^4 a + cos^4 a всё это / sin^6a+cos^6a, если tg a = 2

В пунктах 1 и 2 проверяется выполнимость основного тождества; в пунктах 3 и 4 значения выражений равны $\frac{3\pm \sqrt{7}}{4}$ и $\frac{23}{32}$ ; в пункте 5 итоговое значение равно $\frac{17}{13}$ . ️ Шаг 1: Проверка возможности существования углов Для любого угла $\alpha$ должно выполняться основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

1. Проверим $\sin \alpha =\frac{1}{9}$ и $\cos \alpha =\frac{8}{9}$ :
   $(\frac{1}{9}{)}^2+(\frac{8}{9}{)}^2=\frac{1}{81}+\frac{64}{81}=\frac{65}{81}\ne 1$ Следовательно, такие значения невозможны. Проверим $\cos \alpha =\frac{3}{4}$ и $\tan \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}$ :
   Используем формулу $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ :
   $1+(\frac{\sqrt{7}}{3}{)}^2=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$ $\frac{1}{(3/4{)}^2}=\frac{1}{9/16}=\frac{16}{9}$ Равенство верно, такие значения возможны.

️ Шаг 2: Нахождение значений при условии $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$ Сначала найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$. Возведем условие в квадрат: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=\frac{1}{4}1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{4}2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3}{4}\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3}{8}$ 3) Чтобы найти $2\sin \alpha +\cos \alpha$, определим значения по отдельности. Составим квадратное уравнение для $t=\sin \alpha ,\cos \alpha$: $t^2-\frac{1}{2}t-\frac{3}{8}=0$ , откуда $t=\frac{1\pm \sqrt{7}}{4}$ . Если $\sin \alpha =\frac{1+\sqrt{7}}{4}$ , то значение $\frac{3+\sqrt{7}}{4}$ . Если $\sin \alpha =\frac{1-\sqrt{7}}{4}$ , то значение $\frac{3-\sqrt{7}}{4}$ .

1. Вычислим ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$:
   ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =1-2(-\frac{3}{8}{)}^2=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}$

️ Шаг 3: Вычисление отношения при $\tan \alpha =2$ Разделим числитель и знаменатель выражения $\frac{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha }{{\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha }$ на соответствующие степени $\cos \alpha$ или используем универсальные формулы через $\tan \alpha$: ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =1-\frac{2{\tan }^2\alpha }{(1+{\tan }^2\alpha {)}^2}=1-\frac{2\left(4\right)}{25}=\frac{17}{25}$ ${\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha =1-\frac{3{\tan }^2\alpha }{(1+{\tan }^2\alpha {)}^2}=1-\frac{3\left(4\right)}{25}=\frac{13}{25}$ Итоговое отношение: $\frac{17/25}{13/25}=\frac{17}{13}$ Ответ:

1. Невозможны; 2) Возможны; 3) $\frac{3\pm \sqrt{7}}{4}$ ; 4) $\frac{23}{32}$ ; 5) $\frac{17}{13}$

Сообщите, требуется ли графическая интерпретация корней для третьего задания или вывод формул для пятого.