Биссектриса треугольника делит противоречащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам

Это утверждение известно как теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника. Она является одной из фундаментальных теорем планиметрии. Формулировка теоремы Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ к стороне $BC$, то справедливо следующее соотношение: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ Доказательство (через площади) Один из самых наглядных способов доказательства основан на отношении площадей треугольников с общей высотой.

1. Рассмотрим треугольники $ABD$ and $ACD$. У них общая высота $h$, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:
   $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}$ С другой стороны, формулу площади треугольника можно записать через две стороны и синус угла между ними:
   • $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin \left(\alpha \right)$ $S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin \left(\alpha \right)$
     (где $\alpha$ — половины угла при вершине $A$, так как $AD$ — биссектриса).
   Найдем отношение площадей через эти формулы:
   $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin \left(\alpha \right)}{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin \left(\alpha \right)}=\frac{AB}{AC}$ Приравнивая правые части из пунктов 2 и 4, получаем искомое утверждение:
   $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Свойства и следствия Помимо основного соотношения, полезно помнить следующие факты:

• Обратная теорема: Если точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что $BD/DC=AB/AC$, то отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Длина биссектрисы: Зная стороны треугольника ( $a,b,c$) и отрезки, на которые биссектриса делит сторону ( $d_1,d_2$), ее длину $l_a$ можно вычислить по формуле:
  $l_a^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$ Координаты инцентра: Данная теорема лежит в основе вывода координат центра вписанной окружности (инцентра), так как биссектрисы пересекаются в одной точке и делят друг друга в определенном отношении, зависящем от длин сторон.

Пример применения Если в треугольнике стороны равны $10$ см и $15$ см, а третья сторона, к которой проведена биссектриса, равна $20$ см, то биссектриса разделит её на отрезки $x$ и $y$ в соотношении $10:15$ (или $2:3$). Решив уравнение $x+y=20$ при условии $x/y=2/3$, получим отрезки длиной $8$ см и $12$ см. Я могу составить для вас подборку задач разного уровня сложности на применение этой теоремы или помочь с выводом формулы длины биссектрисы.