Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о длине медианы через стороны треугольника и алгебраическими преобразованиями. 1. Формула длины медианы Пусть в треугольнике стороны равны $a$, $b$ и $c$. Обозначим медианы, проведенные к этим сторонам, как $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно. Согласно стандартной формуле, квадрат медианы выражается через стороны треугольника следующим образом: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ $m_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$ $m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$ 2. Суммирование квадратов медиан Сложим левые и правые части этих трех равенств: $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$ Приведем правую часть к общему знаменателю: $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{(2b^2+2c^2-a^2)+(2a^2+2c^2-b^2)+(2a^2+2b^2-c^2)}{4}$ 3. Группировка слагаемых Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

• Для $a^2$: $-1a^2+2a^2+2a^2=3a^2$ Для $b^2$: $2b^2-1b^2+2b^2=3b^2$ Для $c^2$: $2c^2+2c^2-1c^2=3c^2$

Таким образом, числитель принимает вид $3a^2+3b^2+3c^2$. Подставим его обратно в уравнение: $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3a^2+3b^2+3c^2}{4}$ 4. Итоговый вывод Вынесем общий множитель $3$ за скобки в правой части: $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ Это и есть искомое утверждение: сумма квадратов медиан треугольника равна $3/4$ суммы квадратов его сторон. Что и требовалось доказать. Могу также вывести саму формулу медианы через теорему косинусов или достроить треугольник до параллелограмма, если вам интересно увидеть более глубокие истоки этих вычислений.