Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно что разность катетов 2 см, а острый угол равен 30°.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $\mathbf{2}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$ см (приблизительно 5,46 см). ️ Шаг 1: Определение зависимостей между сторонами Пусть $c$ — гипотенуза треугольника. В прямоугольном треугольнике катеты можно выразить через гипотенузу и острый угол $\alpha ={30}^{\circ }$. Обозначим меньший катет (противолежащий углу ${30}^{\circ }$) как $a$, а больший катет (прилежащий) как $b$. Согласно тригонометрическим соотношениям: $a=c\cdot \sin \left({30}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}c$ $b=c\cdot \cos \left({30}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}c$ ️ Шаг 2: Составление и решение уравнения По условию задачи разность катетов равна $2$ см. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{2}$ , вычитаем из большего катета меньший: $b-a=2$ $\frac{\sqrt{3}}{2}c-\frac{1}{2}c=2$ Вынесем $c$ за скобки и преобразуем уравнение для нахождения гипотенузы: $c\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2}=2$ $c=\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ ️ Шаг 3: Избавление от иррациональности в знаменателе Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$ : $c=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{2}$ $c=2(\sqrt{3}+1)$ Принимая $\sqrt{3}\approx 1,732$ , получим: $c\approx 2\cdot 2,732=5,464$ Ответ: Гипотенуза равна $\mathbf{2}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$ см. Вы хотите вычислить площадь этого треугольника или найти точные значения катетов?