Чему равняется абсолютная величина вектора

Абсолютная величина вектора (также называемая модулем или длиной вектора) — это скалярная величина, представляющая собой расстояние между начальной и конечной точками вектора. Определение и геометрический смысл Для вектора $\vec{a}$, соединяющего точку начала координат с точкой $P$, абсолютная величина обозначается как $\left|\vec{a}\right|$. Геометрически это длина направленного отрезка в евклидовом пространстве. Согласно теореме Пифагора, эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов его компонент. Формулы для вычисления В зависимости от размерности пространства формула принимает следующий вид:

• На плоскости (2D): Если вектор задан координатами $\vec{a}=(x,y)$, то:
  $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ В пространстве (3D): Если вектор задан координатами $\vec{a}=(x,y,z)$, то:
  $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ В n-мерном пространстве: Для вектора $\vec{a}=(a_1,a_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n)$:
  $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$

Связь со скалярным произведением Абсолютную величину вектора можно выразить через скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат): $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}}$ Основные свойства

1. Неотрицательность: $\left|\vec{a}\right|\ge 0$. Длина вектора не может быть отрицательной. Условие равенства нулю: $\left|\vec{a}\right|=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}$ является нулевым вектором. Однородность: $|\dots \cdot \vec{a}|=\left|k\right|\cdot \left|\vec{a}\right|$, где $k$ — произвольное число (скаляр). Неравенство треугольника: $|\vec{a}+\vec{b}|\le \left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$. Длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин.

Пример расчета Пусть дан вектор $\vec{v}=(3,-4,12)$. Его абсолютная величина будет равна: $\left|\vec{v}\right|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+{12}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ Если вам нужно, я могу составить таблицу с расчетами длин для нескольких конкретных векторов или разобрать пример вычисления расстояния между двумя точками.