3log3(x - 1) - log3(x - 4) - log3 (x2 + 3x + 24) = 0

Для решения уравнения $3{\log }_3(x-1)-{\log }_3(x-4)-{\log }_3(x^2+3x+24)=0$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x-1>0⟹x>1$ $x-4>0⟹x>4$ $x^2+3x+24>0$
   • Дискриминант $D=3^2-4\cdot 1\cdot 24=9-96=-87$. Так как $D<0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение всегда больше нуля.

Итоговое ограничение ОДЗ: $x>4$. 2. Преобразование уравнения Используем свойства логарифмов: $n{\log }_{a}b={\log }_a\left(b^n\right)$ и ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$ .

1. Внесем множитель 3 в степень:
   ${\log }_3(x-1{)}^3-{\log }_3(x-4)-{\log }_3(x^2+3x+24)=0$ Объединим вычитаемые логарифмы:
   ${\log }_3(x-1{)}^3-({\log }_3(x-4)+{\log }_3(x^2+3x+24))=0$ ${\log }_3(x-1{)}^3-{\log }_3((x-4)(x^2+3x+24))=0$ Перенесем один логарифм в правую часть:
   ${\log }_3(x-1{)}^3={\log }_3((x-4)(x^2+3x+24))$

3. Решение алгебраического уравнения Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $(x-1{)}^3=(x-4\left)\right(x^2+3x+24)$

1. Раскроем куб разности слева:
   $x^3-3x^2+3x-1$ Раскроем скобки справа:
   $(x-4)(x^2+3x+24)=x^3+3x^2+24x-4x^2-12x-96$Приведем подобные:
   $x^3-x^2+12x-96$ Приравняем результаты:
   $x^3-3x^2+3x-1=x^3-x^2+12x-96$ Упростим уравнение, перенеся все слагаемые в одну сторону:
   $-3x^2+x^2+3x-12x-1+96=0$ $-2x^2-9x+95=0$Умножим на $-1$ для удобства:
   $2x^2+9x-95=0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=9^2-4\cdot 2\cdot \left(-95\right)=81+760=841={29}^2$Вычислим корни: $x_1=\frac{-9+29}{2\cdot 2}=\frac{20}{4}=5$ $x_2=\frac{-9-29}{2\cdot 2}=\frac{-38}{4}=-9.5$ 5. Проверка по ОДЗ

• $x_1=5$: Условие $x>4$ выполняется. $x_2=-9.5$: Условие $x>4$ не выполняется.

Ответ: $x=5$. Могу ли я помочь с решением других логарифмических или алгебраических уравнений?