В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab=3 bc=3 и aa1=6 найдите площадь треугольника ab!d

Question

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab=3 bc=3 и aa1=6 найдите площадь треугольника ab!d

Лев937 17.01.2026 08:14

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Площадь треугольника $A B_{1} D cap A cap B sub 1 cap D$ равна $4.5 \sqrt{5} 4.5 the square root of 5 end-root$ . Шаг 1: Определение координат вершин треугольника Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A cap A$ совпадает с началом координат $(0, 0, 0) open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ . Ребра параллелепипеда направим вдоль осей: $A B cap A cap B$ по оси $O x cap O x$ , $A D cap A cap D$ по оси $O y cap O y$ , $A A_{1} cap A cap A sub 1$ по оси $O z cap O z$ . Исходя из данных задачи $A B = 3 cap A cap B equals 3$ , $B C = A D = 3 cap B cap C equals cap A cap D equals 3$ , $A A_{1} = 6 cap A cap A sub 1 equals 6$ , определим координаты интересующих нас точек: $A = (0, 0, 0) cap A equals open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ $B_{1} = (3, 0, 6) cap B sub 1 equals open paren 3 comma 0 comma 6 close paren$ (так как $B = (3, 0, 0) cap B equals open paren 3 comma 0 comma 0 close paren$ и $B B_{1} = 6 cap B cap B sub 1 equals 6$ ) $D = (0, 3, 0) cap D equals open paren 0 comma 3 comma 0 close paren$ Шаг 2: Нахождение длин сторон треугольника Вычислим длины сторон $A D cap A cap D$ и $A B_{1} cap A cap B sub 1$ через координаты векторов: $\vec{A D} = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0) modified cap A cap D with right arrow above equals open paren 0 minus 0 comma 3 minus 0 comma 0 minus 0 close paren equals open paren 0 comma 3 comma 0 close paren$ $| \vec{A D} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 3 the absolute value of modified cap A cap D with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 0 squared plus 3 squared plus 0 squared end-root equals 3$ $\vec{A B_{1}} = (3 - 0, 0 - 0, 6 - 0) = (3, 0, 6) modified cap A cap B sub 1 with right arrow above equals open paren 3 minus 0 comma 0 minus 0 comma 6 minus 0 close paren equals open paren 3 comma 0 comma 6 close paren$ $| \vec{A B_{1}} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} the absolute value of modified cap A cap B sub 1 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 3 squared plus 0 squared plus 6 squared end-root equals the square root of 9 plus 36 end-root equals the square root of 45 end-root equals 3 the square root of 5 end-root$ Шаг 3: Определение вида треугольника и расчет площади Проверим скалярное произведение векторов $\vec{A D} modified cap A cap D with right arrow above$ и $\vec{A B_{1}} modified cap A cap B sub 1 with right arrow above$ : $\vec{A D} \cdot \vec{A B_{1}} = 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 6 = 0 modified cap A cap D with right arrow above center dot modified cap A cap B sub 1 with right arrow above equals 0 center dot 3 plus 3 center dot 0 plus 0 center dot 6 equals 0$ Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а треугольник $A B_{1} D cap A cap B sub 1 cap D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A cap A$ . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot A B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{5} = \frac{9 \sqrt{5}}{2} = 4.5 \sqrt{5} cap S equals one-half center dot cap A cap D center dot cap A cap B sub 1 equals one-half center dot 3 center dot 3 the square root of 5 end-root equals the fraction with numerator 9 the square root of 5 end-root and denominator 2 end-fraction equals 4.5 the square root of 5 end-root$ Ответ: Площадь треугольника $A B_{1} D cap A cap B sub 1 cap D$ составляет 4.5\sqrt{5}. Сообщите, требуется ли вычислить приближенное значение площади или найти угол наклона плоскости этого треугольника к основанию.

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab=3 bc=3 и aa1=6 найдите площадь треугольника ab!d

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов