Что такое сумма точек экстремума

Сумма точек экстремума — это алгебраическая сумма всех значений аргумента $x$, при которых функция достигает своего локального максимума или локального минимума. Важно различать понятия экстремума (значение функции $y$) и точки экстремума (значение аргумента $x$). Когда просят найти сумму точек экстремума, речь идет именно о сложении координат по оси абсцисс. Алгоритм нахождения суммы точек экстремума Для определения этих точек в математическом анализе обычно используется следующий порядок действий:

1. Нахождение производной: Вычисляется производная функции $f^{\prime }\left(x\right)$. Определение критических точек: Производная приравнивается к нулю ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$) или определяются точки, где она не существует. Проверка достаточного условия: С помощью первой или второй производной проверяется, является ли критическая точка точкой максимума или минимума.
   • Если производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.
   • Если производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.
   Суммирование: Все найденные значения $x$, прошедшие проверку, складываются.

Пример вычисления Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+5$ .

• Находим производную:
  $f^{\prime }\left(x\right)=x^2-4x+3$ Приравниваем к нулю:
  $x^2-4x+3=0$ Находим корни (критические точки):
  По теореме Виета или через дискриминант получаем:
  $x_1=1$
  $x_2=3$ Проверяем характер точек:
  При переходе через $x=1$ производная меняет знак с положительного на отрицательный (максимум). При переходе через $x=3$ — с отрицательного на положительный (минимум). Обе точки являются точками экстремума. Вычисляем сумму:
  $S=1+3=4$

Особенности для полиномов (Теорема Виета) Для квадратных и кубических функций часто можно найти сумму точек экстремума, не вычисляя их по отдельности. Если производная представляет собой квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$, то согласно теореме Виета сумма его корней (которые и являются потенциальными точками экстремума) равна: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ Это значительно ускоряет решение в задачах, где требуется найти именно сумму, а не сами точки. На что стоит обратить внимание

• Точки vs Экстремумы: Если в задаче просят найти «сумму экстремумов», нужно складывать значения $y$ в этих точках. Если «сумму точек экстремума» — значения $x$. Границы интервала: Точки на границах отрезка (в задачах на поиск наибольшего/наименьшего значения) не считаются точками экстремума, если в них не выполняется условие равенства производной нулю или ее несуществования внутри области определения. Точки перегиба: Если производная в точке равна нулю, но не меняет знак (например, $f\left(x\right)=x^3$ в точке $x=0$), такая точка не является точкой экстремума и не включается в сумму.

Я могу составить для вас пошаговый разбор конкретной функции или подготовить тренировочные задачи на эту тему.