X^4+13x^2-6x+6>0 как доказать это

Для доказательства неравенства $x^4+13x^2-6x+6>0$ для всех действительных значений $x$, наиболее эффективным методом является выделение полных квадратов. Это позволяет представить выражение в виде суммы заведомо неотрицательных или положительных слагаемых. Шаг 1: Группировка слагаемых Посмотрим на часть выражения, содержащую $x^2$ и $x$. Нам нужно выделить полный квадрат вида $(ax-b{)}^2$. Заметим, что слагаемые $-6x$ и часть от $13x^2$ могут образовать квадрат разности. Возьмем $9x^2$ (так как это $(3x{)}^2$) или просто выделим квадрат для линейной части. Наиболее простым решением будет выделить квадрат из выражения $x^2-6x+9$. Однако у нас есть $13x^2$. Разобьем его: $13x^2=12x^2+x^2$Тогда исходное выражение можно переписать так: $x^4+12x^2+(x^2-6x+6)$Шаг 2: Выделение полного квадрата Преобразуем скобку $(x^2-6x+6)$, чтобы получить квадрат разности $(x-3{)}^2$: $(x^2-6x+9)-3$Это не совсем удобно, так как появляется отрицательное число. Попробуем другой способ группировки. Используем слагаемое $13x^2$ иначе. Заметим, что: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$Чтобы получить это в составе нашего неравенства, представим $6$ как $9-3$ или заберем часть от $13x^2$. Лучше всего выделить квадрат, который гарантированно «поглотит» линейную часть $-6x$. Рассмотрим группировку: $x^4+12x^2+(x^2-6x+9)-3>0$Это дает $x^4+12x^2+(x-3{)}^2-3$, что не доказывает положительность напрямую из-за $-3$. Шаг 3: Оптимальное разложение Попробуем выделить квадрат из выражения $x^2-6x$, оставив небольшой коэффициент при $x^2$: $x^4+12x^2+(x^2-6x+6)$Дополним $x^2-6x$ до полного квадрата, используя часть свободных единиц: $x^4+13x^2-6x+6=x^4+12x^2+(x^2-6x+9)-3$ — все еще остается минус. Возьмем более точный подход. Выделим полный квадрат так: $x^4+13x^2-6x+6=x^4+12x^2+(x^2-6x+1)+5$Здесь $(x^2-6x+1)$ не является полным квадратом. Правильная группировка: Разобьем $13x^2$ на $12x^2$ и $x^2$, а число $6$ на $1$ и $5$: $x^4+12x^2+(x^2-6x+9)-3$ — снова минус. Применим метод выделения квадрата к трехчлену $13x^2-6x+6$. Найдем его дискриминант ( $D$) для функции $f\left(x\right)=13x^2-6x+6$: $D=(-6{)}^2-4\cdot 13\cdot 6$ $D=36-312=-276$Так как дискриминант $D<0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ( $13>0$), это означает, что парабола $13x^2-6x+6$ всегда находится выше оси $Ox$. Следовательно: $13x^2-6x+6>0\text{для любого}x\in \mathbb{R}$Итоговое доказательство

1. Мы имеем выражение $x^4+(13x^2-6x+6)$. Слагаемое $x^4\ge 0$ для любого действительного $x$, так как любая четная степень неотрицательна. Рассмотрим квадратичную форму $g\left(x\right)=13x^2-6x+6$.
   • Коэффициент $a=13>0$. Дискриминант $D=36-312=-276$. Поскольку $D<0$, квадратный трехчлен не имеет корней и всегда принимает значения того же знака, что и коэффициент $a$. То есть $13x^2-6x+6>0$.
   Сумма неотрицательного числа ( $x^4$) и строго положительного числа ( $13x^2-6x+6$) всегда строго больше нуля.

$x^4+13x^2-6x+6>0$Что и требовалось доказать. Хотите, чтобы я проверил это выражение на наличие экстремумов через производную, чтобы определить его минимальное значение?