Функция y=f(x) называется ограниченной на заданном множестве, если существует такое число d из этого множества, что для любого x из него выполняется равенство

В вашем определении допущена небольшая неточность. Ограниченность функции определяется не через равенство с элементом из того же множества, а через неравенство, связывающее значения функции с некоторым вещественным числом (границей). Ниже приведено корректное и подробное определение. Математическое определение Функция $y=f\left(x\right)$ называется ограниченной на множестве $X$, если существует такое положительное число $M>0$, что для любого значения аргумента $x\in X$ выполняется неравенство: $\left|f\right(x\left)\right|\le M$Это эквивалентно утверждению, что значения функции для всех $x$ из данного множества лежат в некотором конечном интервале $[-M;M]$. Виды ограниченности Ограниченность может быть односторонней:

• Ограниченность снизу: Если существует число $m$, такое что для всех $x\in X$ выполняется $f\left(x\right)\ge m$. Ограниченность сверху: Если существует число $M$, такое что для всех $x\in X$ выполняется $f\left(x\right)\le M$.

Функция считается ограниченной на множестве тогда и только тогда, когда она ограничена и сверху, и снизу. Геометрический смысл Если функция ограничена, то её график на заданном множестве полностью лежит внутри некоторой горизонтальной полосы, ограниченной прямыми $y=-M$ и $y=M$ (или $y=m$ и $y=M$). Примеры

1. Ограниченная функция: $y=\sin \left(x\right)$ ограничена на всей числовой прямой, так как для любого $x$ справедливо $\left|\sin \right(x\left)\right|\le 1$. Здесь $M=1$. Неограниченная функция: $y=x^2$ на всей числовой прямой не является ограниченной, так как её значения могут быть сколь угодно велики. Однако на отрезке $[0;2]$ эта же функция будет ограниченной ( $M=4$).

Если вам нужно разобрать конкретную функцию на предмет ограниченности или доказать это свойство через определение «на языке $\epsilon -\delta$», я могу подготовить соответствующий вывод.