Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. в ответе укажите ровно одно такое число.

Одним из таких чисел является 1125. Шаг 1: Анализ условий делимости Искомое четырехзначное число $n=\overline{abcd}$ должно быть кратно 45. Поскольку $45=5\cdot 9$, число должно одновременно делиться на 5 и на 9.

1. Делимость на 5: Последняя цифра $d$ должна быть либо 0, либо 5. Делимость на 9: Сумма цифр $S=a+b+c+d$ должна делиться на 9.

Шаг 2: Анализ связи суммы и произведения цифр По условию сумма цифр на 1 меньше их произведения: $S=P-1$, где $P=a\cdot b\cdot c\cdot d$. Рассмотрим два возможных случая для цифры $d$:

• Если $d=0$, то произведение $P=0$. Тогда $S=0-1=-1$, что невозможно для натурального числа. Следовательно, последняя цифра $d=5$.

Шаг 3: Поиск подходящих цифр Поскольку сумма цифр $S$ должна делиться на 9, возможные значения для четырехзначного числа: $S\in \{9,18,27,36\}$. Из условия $P=S+1$ вычислим произведение:

1. Если $S=9$, то $P=10$. Тогда $a\cdot b\cdot c\cdot 5=10$, откуда $a\cdot b\cdot c=2$. Набор цифр для $a,b,c$ может быть только $\{1,1,2\}$. Проверим сумму: $1+1+2+5=9$. Условие выполняется. Если $S=18$, то $P=19$. Но $P$ должно делиться на $d=5$, а 19 не делится на 5. Если $S=27$, то $P=28$. Аналогично, 28 не делится на 5.

Из набора цифр $\{1,1,2,5\}$ можно составить числа 1125, 1215 или 2115. Все они делятся на 45 и удовлетворяют условию задачи. Ответ: 1125 Хотите узнать, как изменится решение, если искать наибольшее из таких чисел?