Log1/6(10 – x) + log1/6(x – 3) ≥ - 1.

Для решения неравенства ${\log }_{1/6}(10-x)+{\log }_{1/6}(x-3)\ge -1$ необходимо выполнить следующие шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), преобразовать логарифмическое выражение и решить полученное алгебраическое неравенство. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $10-x>0x<10$ $x-3>0x>3$

ОДЗ: $x\in (3;10)$ 2. Преобразование неравенства Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_{1/6}\left(\right(10-x\left)\right(x-3\left)\right)\ge -1$Представим число $-1$ как логарифм по основанию $1/6$: $-1={\log }_{1/6}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-1}={\log }_{1/6}\left(6\right)$ Получаем: ${\log }_{1/6}\left(\right(10-x\left)\right(x-3\left)\right)\ge {\log }_{1/6}\left(6\right)$3. Переход к алгебраическому неравенству Так как основание логарифма $a=1/6$ меньше единицы ( $0<1/6<1$), при снятии знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный: $(10-x)(x-3)\le 6$Раскрываем скобки и упрощаем: $10x-30-x^2+3x\le 6$ $-x^2+13x-30\le 6$ $-x^2+13x-36\le 0$Умножим на $-1$, поменяв знак неравенства: $x^2-13x+36\ge 0$4. Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $x^2-13x+36=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=169-144=25$ $x_1=\frac{13+5}{2}=9$ $x_2=\frac{13-5}{2}=4$

Решением неравенства $x^2-13x+36\ge 0$ являются интервалы: $x\in (-\infty ;4]\cup [9;+\infty )$ 5. Пересечение с ОДЗ Теперь объединим полученное решение с ограничениями из шага 1:

• Решение: $x\in (-\infty ;4]\cup [9;+\infty )$ ОДЗ: $x\in (3;10)$

Пересечение этих множеств:

1. Интервал от $3$ до $4$: $(3;4]$ Интервал от $9$ до $10$: $[9;10)$

Ответ: $x\in (3;4]\cup [9;10)$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с переменным основанием. Хотите попробовать решить похожий пример?