Корень 2 sin х -корень 2 cosх=корень 3

Для решения уравнения $\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=\sqrt{3}$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. 1. Преобразование уравнения Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ , чтобы упростить коэффициенты перед тригонометрическими функциями: $\sin x-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ Теперь разделим всё уравнение на $\sqrt{2}$ еще раз (или сразу на $2$ изначальное уравнение), чтобы привести левую часть к формуле синуса разности. Вспомним, что для выражения $a\sin x+b\cos x$ нормирующий множитель равен $\sqrt{a^2+b^2}$ . В нашем случае $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$ . Разделив уравнение $\sin x-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\sqrt{2}$ , получим: $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2. Введение вспомогательного угла Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$ . Подставим эти значения: $\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Используя формулу синуса разности $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, сворачиваем левую часть: $\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 3. Решение простейшего уравнения Уравнение вида $\sin \theta =a$ имеет решения: $\theta =(-1{)}^k\arcsin a+\pi k,k\in \mathbb{Z}$В нашем случае $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$ : $x-\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k$ Перенесем $\frac{\pi }{4}$ в правую часть: $x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 4. Альтернативная запись (разбиение на две серии) Для удобства ответ часто записывают в виде двух отдельных серий:

1. Если $k$ четное ( $k=2n$):
   $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+2\pi n=\frac{7\pi }{12}+2\pi n$ Если $k$ нечетное ( $k=2n+1$):
   $x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}+\pi (2n+1)=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}+\pi +2\pi n=\frac{11\pi }{12}+2\pi n$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Могу ли я помочь вам с отбором корней на определенном промежутке для этого уравнения?