Log_2 (x+1)+1=log_2 (7x+2)-log_2 (x-1)

Для решения уравнения ${\log }_2(x+1)+1={\log }_2(7x+2)-{\log }_2(x-1)$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел, поэтому составим систему неравенств:

• $x+1>0⟹x>-1$ $7x+2>0⟹x>-\frac{2}{7}$ $x-1>0⟹x>1$

Общим решением системы является интервал: $x>1$. 2. Преобразование уравнения Представим число $1$ как ${\log }_{2}2$ и воспользуемся свойствами логарифмов:

• Сумма логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$ Разность логарифмов: ${\log }_{a}b-{\log }_{a}c={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$

Левая часть: ${\log }_2(x+1)+{\log }_{2}2={\log }_2\left(2\right(x+1\left)\right)={\log }_2(2x+2)$ Правая часть: ${\log }_2(7x+2)-{\log }_2(x-1)={\log }_2\left(\frac{7x+2}{x-1}\right)$ Уравнение принимает вид: ${\log }_2(2x+2)={\log }_2\left(\frac{7x+2}{x-1}\right)$ 3. Решение алгебраического уравнения Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $2x+2=\frac{7x+2}{x-1}$ Умножим обе части на $(x-1)$, учитывая, что $x\ne 1$: $(2x+2)(x-1)=7x+2$ $2x^2-2x+2x-2=7x+2$ $2x^2-2=7x+2$Перенесем все члены в левую часть для получения квадратного уравнения: $2x^2-7x-4=0$Находим дискриминант: $D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81$Находим корни: $x_1=\frac{7+\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{7+9}{4}=\frac{16}{4}=4$ $x_2=\frac{7-\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{7-9}{4}=\frac{-2}{4}=-0,5$ 4. Проверка по ОДЗ

• $x_1=4$: Число $4>1$, корень подходит. $x_2=-0,5$: Число $-0,5$ не больше $1$, корень не подходит.

Ответ: $x=4$. Могу ли я помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем?