Найдите количество точек экстремума функции у=3х^5-15х^2

Количество точек экстремума функции $y=3x^5-15x^2$ равно 2. Шаг 1: Нахождение производной функции Для поиска точек экстремума необходимо сначала найти производную функции по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $y^{\prime }=(3x^5-15x^2{)}^{\prime }=15x^4-30x$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся в местах, где производная равна нулю или не существует. Данная функция — многочлен, поэтому производная определена везде. Приравняем её к нулю и решим уравнение: $15x^4-30x=0$ Вынесем общий множитель за скобки: $15x(x^3-2)=0$ Отсюда получаем два корня:

1. $15x=0x_1=0$ $x^3-2=0x^3=2x_2=\sqrt[3]{2}$

Шаг 3: Анализ знаков производной Проверим, меняет ли производная знак при переходе через найденные точки, используя метод интервалов:

1. На интервале $(-\infty ,0)$ возьмем $x=-1$: $y^{\prime }\left(-1\right)=15(-1{)}^4-30(-1)=15+30=45>0$. На интервале $(0,\sqrt[3]{2})$ возьмем $x=1$: $y^{\prime }\left(1\right)=15(1{)}^4-30(1)=15-30=-15<0$. На интервале $(\sqrt[3]{2},+\infty )$ возьмем $x=2$: $y^{\prime }\left(2\right)=15\left(16\right)-60=240-60=180>0$.

Так как в обеих точках ( $x=0$ и $x=\sqrt[3]{2}$ ) производная меняет знак, обе точки являются точками экстремума (локальный максимум и локальный минимум соответственно). Ответ: Количество точек экстремума равно 2. Нужно ли вам найти координаты этих точек по оси $y$ или определить их вид (максимум/минимум)?