Кубе abcda_1b_1c_1d_1abcda 1 b 1 c 1 d 1 точки mm, nn и kk являются серединами рёбер a_1b_1a 1 b 1 , a_1d_1a 1 d 1 и a_1aa 1 a соответственно. найди площадь треугольника mnkmnk, если площадь треугольника ab_1d_1ab 1 d 1 равна 104

Для решения задачи рассмотрим свойства куба и связь между треугольниками $MNK$ и $A{B}_1{D}_1$. 1. Анализ треугольника $A{B}_1{D}_1$ Рассмотрим треугольник $A{B}_1{D}_1$. Его вершинами являются:

• $A$ — вершина нижнего основания. $B_1$ — вершина верхнего основания. $D_1$ — вершина верхнего основания.

Все стороны этого треугольника ( $A{B}_1$, $A{D}_1$ и $B_1{D}_1$) являются диагоналями граней куба. Если ребро куба равно $a$, то длина каждой стороны треугольника вычисляется по формуле: $A{B}_1=A{D}_1=B_1{D}_1=a\sqrt{2}$ Следовательно, $A{B}_1{D}_1$ — правильный (равносторонний) треугольник. Его площадь выражается через ребро куба $a$ следующим образом: $S_{A{B}_1{D}_1}=\frac{(a\sqrt{2}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ По условию задачи $S_{A{B}_1{D}_1}=104$. 2. Анализ треугольника $MNK$ Вершины треугольника $MNK$ являются серединами ребер, выходящих из вершины $A_1$:

• $M$ — середина $A_1{B}_1$. $N$ — середина $A_1{D}_1$. $K$ — середина $A_{1}A$.

Рассмотрим стороны этого треугольника. Каждая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половине ребра куба ( $\frac{a}{2}$ ):

• $MN=\sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ $NK=\sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ $MK=\sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Треугольник $MNK$ также является правильным. 3. Сравнение треугольников Сравним длины сторон треугольников $A{B}_1{D}_1$ и $MNK$:

• Сторона $A{B}_1{D}_1$ равна $a\sqrt{2}$ . Сторона $MNK$ равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Заметим, что сторона треугольника $MNK$ ровно в 2 раза меньше стороны треугольника $A{B}_1{D}_1$. Так как эти треугольники подобны (оба равносторонние), отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия ( $k$): $k=\frac{MN}{A{B}_1}=\frac{1}{2}$ $\frac{S_{MNK}}{S_{A{B}_1{D}_1}}=k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 4. Вычисление итоговой площади Теперь найдем площадь треугольника $MNK$: $S_{MNK}=\frac{1}{4}\cdot S_{A{B}_1{D}_1}$ $S_{MNK}=\frac{104}{4}=26$ Ответ: 26 Я могу помочь рассчитать объемы фигур, отсекаемых данными плоскостями, если это потребуется для дальнейшего изучения задачи.