В кубе abcdmnkp укажи угол между прямой pb и плоскостью (amn).

Для определения угла между прямой $PB$ и плоскостью $\left(AMN\right)$ в кубе $ABCDMNKP$, проанализируем взаимное расположение этих элементов. 1. Анализ расположения вершин Предположим стандартное обозначение куба:

• Основание $ABCD$ (нижняя грань). Верхняя грань $MNKP$, где вершины $M,N,K,P$ находятся соответственно над $A,B,C,D$. Таким образом, ребра $AM,BN,CK,DP$ перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Определение плоскости $\left(AMN\right)$

• Точки $A,M,N$ задают плоскость. Поскольку $AM\parallel BN$ (боковые ребра куба), точка $B$ также лежит в этой плоскости. Следовательно, плоскость $\left(AMN\right)$ совпадает с плоскостью грани $ABNM$.

3. Определение угла между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

• Прямая: $PB$. Плоскость: $\left(ABN\right)$. Точка пересечения: Прямая $PB$ пересекает плоскость $\left(ABN\right)$ в точке $B$. Проекция: Чтобы найти проекцию отрезка $PB$, нужно опустить перпендикуляр из точки $P$ на плоскость $\left(ABN\right)$.
  • Ребро $PN$ перпендикулярно ребру $NM$ (как стороны квадрата $MNKP$). Ребро $PN$ перпендикулярно ребру $NB$ (как стороны квадрата $BCKN$). Следовательно, $PN⟂\left(ABN\right)$. Значит, точка $N$ является проекцией точки $P$ на плоскость.
  Проекция прямой: Отрезок $NB$ является проекцией отрезка $PB$ на плоскость $\left(ABN\right)$.

4. Вычисление угла Искомый угол — это угол $\angle PBN$ в прямоугольном треугольнике $△PNB$ (где $\angle PNB={90}^{\circ }$).

• Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $PN=a$ (ребро куба). $NB=a$ (ребро куба). В прямоугольном равнобедренном треугольнике $△PNB$ катеты равны, следовательно:
  $\mathrm{t}\mathrm{g}(\angle PBN)=\frac{PN}{NB}=\frac{a}{a}=1$

Угол, тангенс которого равен $1$, составляет 45°. Ответ: Угол между прямой $PB$ и плоскостью $\left(AMN\right)$ равен 45°. Хотите, чтобы я рассчитал угол между прямой $PB$ и какой-либо другой плоскостью этого куба, например, $\left(ABC\right)$ или $\left(AMC\right)$?