Найти частные производные 1-го и 2-го порядка . записать полный дифференциал z=sin (x+y)

Для функции $z=\sin (x+y)$ нахождение производных и дифференциала выполняется следующим образом: 1. Частные производные первого порядка Для нахождения производной по $x$ считаем $y$ константой, и наоборот.

• По переменной $x$:
  $\frac{z}{x}=\cos (x+y)\cdot (x+y{)}_x^{\prime }=\cos (x+y)$ По переменной $y$:
  $\frac{z}{y}=\cos (x+y)\cdot (x+y{)}_y^{\prime }=\cos (x+y)$

2. Частные производные второго порядка Дифференцируем полученные результаты повторно.

• Чистая производная по $x$:
  $\frac{{}^{2}z}{x^2}=\frac{}{x}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ Чистая производная по $y$:
  $\frac{{}^{2}z}{y^2}=\frac{}{y}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ Смешанная производная:
  $\frac{{}^{2}z}{xy}=\frac{}{y}\left(\cos \right(x+y\left)\right)=-\sin (x+y)$ (Заметим, что $\frac{{}^{2}z}{xy}=\frac{{}^{2}z}{yx}$ , так как функция непрерывна).

3. Полный дифференциал функции Полный дифференциал первого порядка вычисляется по формуле $dz=\frac{z}{x}dx+\frac{z}{y}dy$ . Подставляя найденные производные: $dz=\cos (x+y)dx+\cos (x+y)dy$Или в более компактном виде: $dz=\cos (x+y)(dx+dy)$Следующим шагом я могу составить для вас уравнение касательной плоскости к этому графику в заданной точке или найти дифференциал второго порядка.