В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб с диагоналями 12 и 12√2. найди объём пирамиды, если все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Для решения задачи воспользуемся тем фактом, что если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. 1. Анализ основания (ромба) Пусть основание пирамиды — ромб $ABCD$ с диагоналями $d_1=12$ и $d_2=12\sqrt{2}$ .

• Площадь ромба ( $S_{осн}$):
  $S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\sqrt{2}=72\sqrt{2}$ Сторона ромба ( $a$):
  Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. По теореме Пифагора:
  $a=\sqrt{{\left(\frac{12}{2}\right)}^2+{\left(\frac{12\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36+72}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ Радиус вписанной окружности ( $r$):
  Площадь ромба также можно выразить через его сторону и высоту ( $h_{р}$), которая равна диаметру вписанной окружности ( $2r$):
  $S_{осн}=a\cdot h_{р}=a\cdot 2r$ $r=\frac{S_{осн}}{2a}=\frac{72\sqrt{2}}{2\cdot 6\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}$

2. Нахождение высоты пирамиды ( $H$) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ (лежит в плоскости основания) и апофемой боковой грани. Угол между апофемой и радиусом равен углу наклона граней к основанию ( $\alpha ={60}^{\circ }$). $H=r\cdot \tan \left({60}^{\circ }\right)$ $H=2\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ 3. Вычисление объёма пирамиды ( $V$) Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot H$ Подставим найденные значения: $V=\frac{1}{3}\cdot 72\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}$ $V=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 6\cdot 2$ $V=72\cdot 2\cdot 2=288$Ответ: 288. Хотите, чтобы я рассчитал площадь боковой поверхности этой пирамиды?