В правильной четырёхугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. найдите объём пирамиды, если её высота равна 8.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен $\frac{2048}{9}$ (или примерно $227.56$). ️ Шаг 1: Определение связи между высотой и основанием Пусть $H=8$ — высота пирамиды, а $a$ — сторона её квадратного основания. Точка пересечения высоты с основанием (центр квадрата) обозначим как $O$. Проведём отрезок от $O$ к середине стороны основания, его длина $r$ равна половине стороны квадрата: $r=\frac{a}{2}$ . Угол наклона боковой грани к основанию — это угол между апофемой и её проекцией $r$ на плоскость основания. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, отрезком $r$ и апофемой, имеем: $\tan \left({60}^{\circ }\right)=\frac{H}{r}$ ️ Шаг 2: Нахождение стороны основания Подставим известные значения ( $H=8$ и $\tan \left({60}^{\circ }\right)=\sqrt{3}$ ) для нахождения $r$: $\sqrt{3}=\frac{8}{r}⟹r=\frac{8}{\sqrt{3}}$ Так как $r$ — это половина стороны основания $a$, получаем: $a=2r=\frac{16}{\sqrt{3}}$ ️ Шаг 3: Вычисление площади основания и объёма Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды: $S=a^2={\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{256}{3}$ Объём пирамиды вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}SH$ : $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{256}{3}\cdot 8=\frac{2048}{9}$ Ответ: Объём пирамиды составляет $\frac{2048}{9}$ кубических единиц. Требуется ли вам расчет площади полной поверхности данной пирамиды или длины её бокового ребра?