Lg(x+√3)+lg(x-√3)=0 log₂(x-5)+log₂(x+2)=3 log₃x+logx3=5/2

Ниже представлено подробное решение трех логарифмических уравнений. 1. $lg(x+\sqrt{3})+lg(x-\sqrt{3})=0$ Область допустимых значений (ОДЗ): Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $x+\sqrt{3}>0x>-\sqrt{3}$ $x-\sqrt{3}>0x>\sqrt{3}$
   Общее условие: $x>\sqrt{3}$ .

Решение: Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$. $lg\left(\right(x+\sqrt{3}\left)\right(x-\sqrt{3}\left)\right)=0$ Применяем формулу разности квадратов: $lg(x^2-3)=0$По определению логарифма ( ${10}^0=1$): $x^2-3=1$ $x^2=4$ $x_1=2,x_2=-2$Проверка ОДЗ:

• $x=2$: $2>\sqrt{3}$ (так как $2>1.732$) — подходит. $x=-2$: $-2<\sqrt{3}$ — не подходит.

Ответ: $2$ 2. ${\log }_2(x-5)+{\log }_2(x+2)=3$ ОДЗ:

1. $x-5>0x>5$ $x+2>0x>-2$
   Общее условие: $x>5$.

Решение: Объединяем логарифмы: ${\log }_2\left(\right(x-5\left)\right(x+2\left)\right)=3$Переходим к показательному уравнению ( $2^3=8$): $(x-5)(x+2)=8$Раскрываем скобки: $x^2+2x-5x-10=8$ $x^2-3x-18=0$Решаем через дискриминант или теорему Виета: $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-18)=9+72=81=9^2$ $x=\frac{3\pm 9}{2}$ $x_1=6,x_2=-3$Проверка ОДЗ:

• $x=6$: $6>5$ — подходит. $x=-3$: $-3<5$ — не подходит.

Ответ: $6$ 3. ${\log }_{3}x+{\log }_{x}3=\frac{5}{2}$ ОДЗ: Аргумент и основание логарифма: $x>0$ и $x\ne 1$. Решение: Используем свойство перехода к новому основанию: ${\log }_{x}3=\frac{1}{{\log }_{3}x}$ . Пусть ${\log }_{3}x=t$. Тогда уравнение принимает вид: $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ Приведем к общему знаменателю и избавимся от дроби (умножим на $2t$): $2t^2+2=5t$ $2t^2-5t+2=0$Находим корни квадратного уравнения: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2$ $t_1=\frac{5+3}{4}=2,t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$ Обратная замена:

1. ${\log }_{3}x=2x=3^{2}x=9$ ${\log }_{3}x=\frac{1}{2}x=3^{1/2}x=\sqrt{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $9;\sqrt{3}$ Я могу также помочь с решением систем логарифмических уравнений или неравенств. Хотите рассмотреть аналогичные примеры?