Log 8 (64 корень 4 степени из 2)

Чтобы вычислить значение выражения ${\log }_8\left(64\sqrt[4]{2}\right)$ , необходимо привести все числа к единому основанию. Удобнее всего использовать основание 2. 1. Представление чисел в виде степени двойки Сначала выразим основание логарифма и аргумент через степени числа 2:

• Основание: $8=2^3$ Число 64: $64=2^6$ Корень четвёртой степени: $\sqrt[4]{2}=2^{1/4}$ (или $2^{0,25}$)

2. Упрощение аргумента логарифма Используем свойство степеней $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$: $64\cdot \sqrt[4]{2}=2^6\cdot 2^{1/4}=2^{6+1/4}=2^{25/4}$ 3. Преобразование логарифма Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: ${\log }_{2^3}\left(2^{25/4}\right)$Воспользуемся свойством логарифма ${\log }_{a^n}\left(b^m\right)=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$ :

1. Выносим показатель степени аргумента ( $25/4$) в числитель перед логарифмом. Выносим показатель степени основания ( $3$) в знаменатель перед логарифмом.

$\frac{25/4}{3}\cdot {\log }_{2}2$ 4. Финальный расчет Так как ${\log }_{2}2=1$, выражение сводится к делению дробей: $\frac{25}{4}:3=\frac{25}{4\cdot 3}=\frac{25}{12}$ Переведем в смешанное число или десятичную дробь (приблизительно):

• В виде дроби: $2\frac{1}{12}$ В виде десятичной дроби: $\approx 2,0833.\mathrm{.}\mathrm{.}$

Ответ: $\frac{25}{12}$ (или $2\frac{1}{12}$ ) Я могу составить для вас аналогичные задачи для тренировки навыка работы со степенями и логарифмами. Хотите, чтобы я подготовил список из 3-5 примеров с ответами?