Найдите критические точки функции: f (x) = x^4-2x^2-3 f(x)=x^2 + 3x / x+4

Для функции $f\left(x\right)=x^4-2x^2-3$ критическими точками являются $x_1=-1$, $x_2=0$ и $x_3=1$. Для функции $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x}{x+4}$ критическими точками являются $x_1=-6$ и $x_2=-2$. ️ Шаг 1: Нахождение критических точек функции $f\left(x\right)=x^4-2x^2-3$

1. Вычислим производную функции:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(x^4{)}^{\prime }-(2x^2{)}^{\prime }-(3{)}^{\prime }=4x^3-4x$ Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
   $4x^3-4x=0$ $4x(x^2-1)=0$ $4x(x-1)(x+1)=0$ Решим уравнение:
   • $4x=0x=0$ $x-1=0x=1$ $x+1=0x=-1$

️ Шаг 2: Нахождение критических точек функции $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x}{x+4}$

1. Найдем область определения: $x+4\ne 0x\ne -4$. Вычислим производную по правилу дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ :
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(x^2+3x{)}^{\prime }(x+4)-(x^2+3x\left)\right(x+4{)}^{\prime }}{(x+4{)}^2}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{(2x+3)(x+4)-(x^2+3x)\cdot 1}{(x+4{)}^2}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^2+8x+3x+12-x^2-3x}{(x+4{)}^2}=\frac{x^2+8x+12}{(x+4{)}^2}$ Приравняем числитель к нулю для поиска критических точек:
   $x^2+8x+12=0$По теореме Виета или через дискриминант:
   $D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$ $x=\frac{-8\pm 4}{2}$ $x_1=-6,x_2=-2$ Обе точки входят в область определения функции.

Ответ: Для первой функции: -1, 0, 1; для второй функции: -6, -2. Нужно ли вам также определить характер этих критических точек (максимумы или минимумы) с помощью второй производной?