Медиана вм и биссектриса ар треугольника авс пересекаются в точке к, длина стороны ас втрое больше длины стороны ав. найдите отношение площади четырёхугольника крсм к площади треугольника авс

Question

Медиана вм и биссектриса ар треугольника авс пересекаются в точке к, длина стороны ас втрое больше длины стороны ав. найдите отношение площади четырёхугольника крсм к площади треугольника авс

Molniya2005 10.02.2026 19:44

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Отношение площади четырёхугольника $K P C M cap K cap P cap C cap M$ к площади треугольника $A B C cap A cap B cap C$ равно $9 ∶ 20 9 colon 20$ (или $0, 45 0 comma 45$ ). Шаг 1: Определение отношений отрезков Пусть длина стороны $A B = c cap A cap B equals c$ . По условию $A C = 3 c cap A cap C equals 3 c$ . Так как $B M cap B cap M$ — медиана, точка $M cap M$ является серединой $A C cap A cap C$ , следовательно: $A M = M C = \frac{3 c}{2} = 1, 5 c cap A cap M equals cap M cap C equals 3 c over 2 end-fraction equals 1 comma 5 c$ Рассмотрим $△ A B M triangle cap A cap B cap M$ . Отрезок $A K cap A cap K$ является биссектрисой угла $A cap A$ в этом треугольнике. По свойству биссектрисы она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\frac{B K}{K M} = \frac{A B}{A M} = \frac{c}{1, 5 c} = \frac{2}{3} the fraction with numerator cap B cap K and denominator cap K cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap A cap M end-fraction equals the fraction with numerator c and denominator 1 comma 5 c end-fraction equals two-thirds$ Следовательно, $B K = \frac{2}{5} B M cap B cap K equals two-fifths cap B cap M$ и $K M = \frac{3}{5} B M cap K cap M equals three-fifths cap B cap M$ . В треугольнике $A B C cap A cap B cap C$ отрезок $A P cap A cap P$ — биссектриса угла $A cap A$ . По свойству биссектрисы: $\frac{B P}{P C} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{3 c} = \frac{1}{3} the fraction with numerator cap B cap P and denominator cap P cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap A cap C end-fraction equals c over 3 c end-fraction equals one-third$ Отсюда $B P = \frac{1}{4} B C cap B cap P equals one-fourth cap B cap C$ и $P C = \frac{3}{4} B C cap P cap C equals three-fourths cap B cap C$ . Шаг 2: Нахождение положения точки K на биссектрисе AP Для треугольника $A P C cap A cap P cap C$ и прямой $B - K - M cap B minus cap K minus cap M$ , пересекающей его стороны, применим теорему Менелая: $\frac{A K}{K P} \cdot \frac{P B}{B C} \cdot \frac{C M}{M A} = 1 the fraction with numerator cap A cap K and denominator cap K cap P end-fraction center dot the fraction with numerator cap P cap B and denominator cap B cap C end-fraction center dot the fraction with numerator cap C cap M and denominator cap M cap A end-fraction equals 1$ Подставим известные значения: $\frac{A K}{K P} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1} = 1 ⟹ \frac{A K}{K P} = 4 the fraction with numerator cap A cap K and denominator cap K cap P end-fraction center dot one-fourth center dot one-oneth equals 1 ⟹ the fraction with numerator cap A cap K and denominator cap K cap P end-fraction equals 4$ Таким образом, $K P = \frac{1}{5} A P cap K cap P equals one-fifth cap A cap P$ . Шаг 3: Вычисление площадей Пусть $S cap S$ — площадь треугольника $A B C cap A cap B cap C$ .

Площадь $△ A B M triangle cap A cap B cap M$ : так как $B M cap B cap M$ — медиана, $S_{A B M} = \frac{1}{2} S cap S sub cap A cap B cap M end-sub equals one-half cap S$ . Площадь $△ A B K triangle cap A cap B cap K$ : так как $\frac{B K}{B M} = \frac{2}{5} the fraction with numerator cap B cap K and denominator cap B cap M end-fraction equals two-fifths$ , то $S_{A B K} = \frac{2}{5} S_{A B M} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{1}{5} S cap S sub cap A cap B cap K end-sub equals two-fifths cap S sub cap A cap B cap M end-sub equals two-fifths center dot one-half cap S equals one-fifth cap S$ . Площадь $△ A K M triangle cap A cap K cap M$ : так как $\frac{K M}{B M} = \frac{3}{5} the fraction with numerator cap K cap M and denominator cap B cap M end-fraction equals three-fifths$ , то $S_{A K M} = \frac{3}{5} S_{A B M} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} S = \frac{3}{10} S cap S sub cap A cap K cap M end-sub equals three-fifths cap S sub cap A cap B cap M end-sub equals three-fifths center dot one-half cap S equals three-tenths cap S$ . Площадь $△ A B P triangle cap A cap B cap P$ : так как $\frac{B P}{B C} = \frac{1}{4} the fraction with numerator cap B cap P and denominator cap B cap C end-fraction equals one-fourth$ , то $S_{A B P} = \frac{1}{4} S cap S sub cap A cap B cap P end-sub equals one-fourth cap S$ . Площадь $△ B K P triangle cap B cap K cap P$ : так как $\frac{K P}{A P} = \frac{1}{5} the fraction with numerator cap K cap P and denominator cap A cap P end-fraction equals one-fifth$ , то $S_{B K P} = \frac{1}{5} S_{A B P} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} S = \frac{1}{20} S cap S sub cap B cap K cap P end-sub equals one-fifth cap S sub cap A cap B cap P end-sub equals one-fifth center dot one-fourth cap S equals 1 over 20 end-fraction cap S$ .

Площадь четырёхугольника $K P C M cap K cap P cap C cap M$ можно найти, вычтя из общей площади площади треугольников, не входящих в него: $S_{K P C M} = S_{A B C} - (S_{A B K} + S_{A K M} + S_{B K P}) cap S sub cap K cap P cap C cap M end-sub equals cap S sub cap A cap B cap C end-sub minus open paren cap S sub cap A cap B cap K end-sub plus cap S sub cap A cap K cap M end-sub plus cap S sub cap B cap K cap P end-sub close paren$ $S_{K P C M} = S - (\frac{1}{5} S + \frac{3}{10} S + \frac{1}{20} S) cap S sub cap K cap P cap C cap M end-sub equals cap S minus open paren one-fifth cap S plus three-tenths cap S plus 1 over 20 end-fraction cap S close paren$ Приведем к общему знаменателю $2020$ : $S_{K P C M} = S - \frac{4 + 6 + 1}{20} S = S - \frac{11}{20} S = \frac{9}{20} S cap S sub cap K cap P cap C cap M end-sub equals cap S minus the fraction with numerator 4 plus 6 plus 1 and denominator 20 end-fraction cap S equals cap S minus 11 over 20 end-fraction cap S equals 9 over 20 end-fraction cap S$ Ответ: Отношение площадей составляет $9 ∶ 20 9 colon 20$ или $0, 45 0 comma 45$ . Сообщите, если вам необходимо разобрать другой метод решения, например, через использование векторов или теорему о площади треугольника через угол.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов