1 . угол между диагональю и стороной ромба равен 20 градусов. найдите углы ромба. 2. диагональ делит угол прямоугольника на два угла, один из которых на 10 градусов больше другого. найдите острый угол между диагоналями треугольника. 3. перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. меньшая диагональ ромба равна 12 см. найдите углы и периметр ромба.

Углы ромба в первой задаче составляют 40^\circ и 140^\circ, острый угол между диагоналями во второй задаче равен 80^\circ, а в третьей задаче углы ромба равны 60^\circ и 120^\circ при периметре 48 см. ️ Шаг 1: Нахождение углов ромба в первой задаче В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Если угол между диагональю и стороной равен ${20}^{\circ }$, то целый угол ромба в два раза больше: $2\cdot {20}^{\circ }={40}^{\circ }$Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна ${180}^{\circ }$, второй угол равен: ${180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$Противолежащие углы ромба равны, следовательно, углы равны ${40}^{\circ },{140}^{\circ },{40}^{\circ },{140}^{\circ }$. ️ Шаг 2: Нахождение угла между диагоналями прямоугольника Угол прямоугольника равен ${90}^{\circ }$. Пусть один угол равен $x$, тогда второй $x+{10}^{\circ }$. Составим уравнение: $x+x+{10}^{\circ }={90}^{\circ }⟹2x={80}^{\circ }⟹x={40}^{\circ }$Углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника, равны ${40}^{\circ }$ и ${50}^{\circ }$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, образуя равнобедренные треугольники. В треугольнике, основанием которого является меньшая сторона, углы при основании равны ${50}^{\circ }$. Угол между диагоналями (вершина треугольника) равен: ${180}^{\circ }-({50}^{\circ }+{50}^{\circ })={80}^{\circ }$Так как ${80}^{\circ }<{90}^{\circ }$, это и есть искомый острый угол. ️ Шаг 3: Определение параметров ромба в третьей задаче Пусть $ABCD$ — ромб, $BH$ — перпендикуляр к стороне $AD$, делящий её пополам ( $AH=HD$). В треугольнике $ABD$ отрезок $BH$ является высотой и медианой, значит, $△ABD$ — равнобедренный ( $AB=BD$). Поскольку в ромбе все стороны равны, $AB=AD$, следовательно, $△ABD$ — равносторонний.

1. Все углы равностороннего треугольника равны ${60}^{\circ }$, значит, $\angle A={60}^{\circ }$. Второй угол ромба: $\angle B={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$. Так как $△ABD$ равносторонний, сторона ромба $AB=BD=12$ см. Периметр ромба:
   $P=4\cdot 12=48$ см.

Ответ:

1. Углы ромба: 40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ.
2. Острый угол между диагоналями: 80^\circ.
3. Углы ромба: 60^\circ и 120^\circ; периметр: 48 см.

Нужно ли вам доказательство того, что треугольник в третьей задаче является именно равносторонним, или чертеж для визуализации?