Найдите точку максимума функции y=(x'2-17x+17)e'x+17

Точкой максимума функции является 0. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения производной функции $y=(x^2-17x+17)e^{x+17}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Пусть $u=x^2-17x+17$, а $v=e^{x+17}$.

1. Найдем производную первой части: $u^{\prime }=(x^2-17x+17{)}^{\prime }=2x-17$. Найдем производную второй части: $v^{\prime }=(e^{x+17}{)}^{\prime }=e^{x+17}\cdot (x+17{)}^{\prime }=e^{x+17}$.

Теперь соберем производную функции: $y^{\prime }=(2x-17)e^{x+17}+(x^2-17x+17)e^{x+17}$Вынесем общий множитель $e^{x+17}$ за скобки: $y^{\prime }=e^{x+17}(2x-17+x^2-17x+17)$ $y^{\prime }=e^{x+17}(x^2-15x)$️ Шаг 2: Определение критических точек Для поиска экстремумов приравняем производную к нулю: $e^{x+17}(x^2-15x)=0$Так как показательная функция $e^{x+17}$ всегда больше нуля при любом значении $x$, уравнение сводится к: $x^2-15x=0$ $x(x-15)=0$Критическими точками являются $x_1=0$ и $x_2=15$. ️ Шаг 3: Анализ знаков производной и определение максимума Определим знаки производной на полученных интервалах, чтобы найти точку максимума (где производная меняет знак с плюса на минус):

1. На интервале $(-\infty ;0)$: выберем $x=-1$. $y^{\prime }\left(-1\right)=e^{16}\left(\right(-1{)}^2-15\left(-1\right))=e^{16}(1+15)>0$. Функция возрастает. На интервале $(0;15)$: выберем $x=1$. $y^{\prime }\left(1\right)=e^{18}(1^2-15(1\left)\right)=e^{18}\left(-14\right)<0$. Функция убывает. На интервале $(15;+\infty )$: выберем $x=16$. $y^{\prime }\left(16\right)=e^{33}({16}^2-15\cdot 16)>0$. Функция возрастает.

Поскольку в точке $x=0$ знак производной меняется с $+$ на $-$, это точка максимума. Ответ: Точка максимума $x=\mathbf{0}$. Хотите ли вы разобрать нахождение минимального или максимального значения этой функции на определенном отрезке?