Найдите значение x при которых производная функция f равна нулю y=x^4 - 12x^2

Значения $x$, при которых производная функции $f\left(x\right)=x^4-12x^2$ равна нулю, составляют $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}$, $\mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{6}}$ и $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{6}}$ . Шаг 1: Нахождение производной функции Для решения задачи необходимо сначала найти производную функции $f\left(x\right)=x^4-12x^2$. Используя правила дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ и правило линейности, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^4{)}^{\prime }-(12x^2{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=4x^{4-1}-12\cdot 2x^{2-1}$ $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-24x$ Шаг 2: Решение уравнения f'(x) = 0 Чтобы найти искомые значения $x$, приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение: $4x^3-24x=0$ Вынесем общий множитель $4x$ за скобки: $4x(x^2-6)=0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1. $4x=0$, откуда $x_1=0$. $x^2-6=0$, что эквивалентно $x^2=6$. Следовательно, $x_{2,3}=\pm \sqrt{6}$ .

Ответ: Производная функции равна нулю при x = 0, x = \sqrt{6} и x = -\sqrt{6}. Хотите ли вы также определить точки экстремума (максимума и минимума) для этой функции на основе найденных значений?