Найти корни уравнения 4cox^2x-4cosx+1=0 принадлежащие интервалу [0:pi/2]

Корнем уравнения $4{\cos }^2\left(x\right)-4\cos \left(x\right)+1=0$ на интервале $[0,\pi /2]$ является $x=\frac{\pi }{3}$ . Шаг 1: Введение замены переменной Пусть $t=\cos \left(x\right)$. Так как значения косинуса ограничены, переменная $t$ должна удовлетворять условию $\left|t\right|\le 1$. Подставим замену в исходное уравнение: $4t^2-4t+1=0$Шаг 2: Решение полученного уравнения Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности вида $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=2t$, а $b=1$: $(2t-1{)}^2=0$Извлекая корень из обеих частей, получаем линейное уравнение: $2t-1=0$ $t=\frac{1}{2}$ Шаг 3: Обратная замена и отбор корней Возвращаемся к переменной $x$, подставляя найденное значение $t$: $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$ Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Рассмотрим корни, попадающие в заданный интервал $[0,\frac{\pi }{2}]$ :

1. При $k=0$ получаем $x_1=\frac{\pi }{3}$ и $x_2=-\frac{\pi }{3}$ . Значение $x_1=\frac{\pi }{3}$ принадлежит интервалу, так как $0\le \frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}$ . Значение $x_2$ не подходит. При $k\ne 0$ значения $x$ будут выходить за пределы интервала $[0,\frac{\pi }{2}]$ , так как период $2\pi$ значительно больше длины интервала.

Ответ: x = \frac{\pi}{3} Провести ли проверку полученного корня путем подстановки в исходное уравнение или графический анализ функции?