Найти котангенс, косинус, синус альфа, если тангенс равен 3 под корнем 0< альфа <пи/2

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Дано:

• $\tan \alpha =\sqrt{3}$ $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ (Первая четверть, где все тригонометрические функции положительны)

1. Нахождение котангенса ( $\cot \alpha$) Котангенс является обратной функцией тангенса: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ Подставляем значение: $\cot \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 2. Нахождение косинуса ( $\cos \alpha$) Используем формулу связи тангенса и косинуса: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ Подставляем $\tan \alpha =\sqrt{3}$ : $1+(\sqrt{3}{)}^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ $1+3=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }⟹4=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$ Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos \alpha$ положителен: $\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ 3. Нахождение синуса ( $\sin \alpha$) Используем формулу $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ , откуда выражаем синус: $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha$Подставляем найденные значения: $\sin \alpha =\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Итоговые значения:

• $\cot \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos \alpha =\frac{1}{2}$
• $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Стоит отметить, что при таких значениях угол $\alpha =\frac{\pi }{3}$ ( ${60}^{\circ }$). Я могу помочь вам с решением других тригонометрических уравнений или задач на упрощение выражений. Хотите разобрать еще один пример?