Найти точку минимума функции y=(23-x) *e в степени 23-x

Точкой минимума функции является x = 24. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения точек экстремума необходимо вычислить производную функции $y=(23-x)e^{23-x}$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ и цепное правило для экспоненты: $y^{\prime }=(23-x{)}^{\prime }{e}^{23-x}+(23-x\left)\right(e^{23-x}{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=-1\cdot e^{23-x}+(23-x)\cdot e^{23-x}\cdot \left(-1\right)$Вынесем общий множитель $e^{23-x}$ за скобки: $y^{\prime }=e^{23-x}(-1-(23-x\left)\right)=e^{23-x}(-1-23+x)=e^{23-x}(x-24)$️ Шаг 2: Определение критических точек Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $e^{23-x}(x-24)=0$Так как показательная функция $e^{23-x}$ всегда положительна ( $e^{23-x}>0$ для любого $x$), уравнение сводится к: $x-24=0$ $x=24$️ Шаг 3: Проверка условия минимума Исследуем знак производной $y^{\prime }=e^{23-x}(x-24)$ в окрестности точки $x=24$:

1. При $x<24$ (например, $x=23$): $y^{\prime }=e^0(23-24)=-1<0$. Функция убывает. При $x>24$ (например, $x=25$): $y^{\prime }=e^{-2}(25-24)=e^{-2}>0$. Функция возрастает.

Так как при переходе через точку $x=24$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Ответ: Точка минимума функции $x=24$. Нужно ли вам найти минимальное значение функции в этой точке или исследовать её на другом промежутке?