Основание пирамиды- квадрат со стороной,равной 3.каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под одним и тем,же углом,тангенс которого равен 4/3. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами пирамиды, у которой все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. 1. Анализ условий и свойств

• Основание: Квадрат со стороной $a=3$. Угол наклона граней: Так как все грани наклонены под одним углом ( $\alpha$), вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. Для квадрата это точка пересечения его диагоналей. Тангенс угла: $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ .

2. Определение апофемы Апофема ( $L$) — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ( $H$), апофемой ( $L$) и радиусом вписанной в основание окружности ( $r$).

• Радиус вписанной окружности для квадрата равен половине его стороны:
  $r=\frac{a}{2}=\frac{3}{2}=1.5$ Из прямоугольного треугольника имеем:
  $\cos \alpha =\frac{r}{L}⟹L=\frac{r}{\cos \alpha }$ Зная $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ , найдем $\cos \alpha$ через тригонометрическое тождество $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ :
  $1+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }⟹1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ ${\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}⟹\cos \alpha =\frac{3}{5}=0.6$ Теперь найдем длину апофемы $L$:
  $L=\frac{1.5}{0.6}=2.5$

3. Вычисление площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности ( $S_{бок}$) правильной (или равнонаклонной) пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot P\cdot L$ где $P$ — периметр основания.

• Периметр основания: $P=4\cdot a=4\cdot 3=12$. Площадь:
  $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2.5=6\cdot 2.5=15$

Альтернативный способ: Можно использовать теорему о проекции плоской фигуры: $S_{осн}=S_{бок}\cdot \cos \alpha$.

1. $S_{осн}=3^2=9$. $\cos \alpha =0.6$ (вычислено выше). $S_{бок}=\frac{S_{осн}}{\cos \alpha }=\frac{9}{0.6}=15$ .

Ответ: 15. Я могу также рассчитать объем этой пирамиды или площадь её полной поверхности, если это необходимо.