Решите неравенство x^2-4/2x+1<0

Для решения неравенства $\frac{x^2-4}{2x+1}<0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Нахождение критических точек Сначала найдем корни числителя и знаменателя, так как именно в этих точках выражение может менять знак.

• Числитель: $x^2-4=0$
  Разложим по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)=0$.
  Корни: $x_1=2$, $x_2=-2$. Знаменатель: $2x+1\ne 0$
  $2x\ne -1$
  Корень: $x_3=-0,5$.

2. Определение знаков на интервалах Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Точки будут выколотыми (пустыми), так как неравенство строгое ( $<$). Точки в порядке возрастания: $-2$, $-0,5$, $2$. Определим знак выражения $f\left(x\right)=\frac{(x-2)(x+2)}{2x+1}$ на каждом промежутке:

1. $(-\infty ;-2)$: Возьмем $x=-3$.
   $\frac{(-3{)}^2-4}{2\left(-3\right)+1}=\frac{5}{-5}=-1$ (отрицательно) $$ минус $(-2;-0,5)$: Возьмем $x=-1$.
   $\frac{(-1{)}^2-4}{2\left(-1\right)+1}=\frac{-3}{-1}=3$ (положительно) $$ плюс $(-0,5;2)$: Возьмем $x=0$.
   $\frac{0^2-4}{2\left(0\right)+1}=\frac{-4}{1}=-4$ (отрицательно) $$ минус $(2;+\infty )$: Возьмем $x=3$.
   $\frac{3^2-4}{2\left(3\right)+1}=\frac{5}{7}$ (положительно) $$ плюс

3. Выбор подходящих интервалов По условию неравенства нам нужны промежутки, где выражение меньше нуля (знак «минус»). Это интервалы:

• $(-\infty ;-2)$ $(-0,5;2)$

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (-0,5;2)$ Могу также помочь с решением аналогичных систем неравенств или графическим представлением этой функции. Хотите продолжить?