Решите уравнение: 3sin^2x-5sinx-2=0

Для решения уравнения $3{\sin }^{2}x-5\sin x-2=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение переменной Пусть $\sin x=t$. Так как значения синуса ограничены, наложим условие: $\left|t\right|\le 1$ (или $t\in [-1;1]$). 2. Решение квадратного уравнения Подставим $t$ в исходное уравнение: $3t^2-5t-2=0$Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot (-2)=25+24=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни уравнения:

• $t_1=\frac{5+7}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2$ $t_2=\frac{5-7}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$

3. Обратная подстановка Теперь проверим полученные корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. При $t_1=2$:
   Уравнение $\sin x=2$ не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1. При $t_2=-\frac{1}{3}$ :
   $\sin x=-\frac{1}{3}$
   Это уравнение имеет решения, которые записываются через арксинус:
   $x=(-1{)}^n\arcsin (-\frac{1}{3})+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin (-a)=-\arcsin a$, решение можно переписать в виде: $x=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Или в виде двух серий решений:

• $x=-\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\pi +\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Могу ли я помочь вам с отбором корней этого уравнения на определенном промежутке?