Решите уравнение с неизвестными степенями 9^x+4^(x+1,5)=6^(x+1)

Для решения уравнения с показательными функциями приведем все степени к общему виду и преобразуем основания. 1. Упрощение выражения Исходное уравнение: $9^x+4^{x+1,5}=6^{x+1}$Используем свойства степеней $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$:

• $4^{x+1,5}=4^x\cdot 4^{1,5}=4^x\cdot \sqrt{4^3}=4^x\cdot 8$ $6^{x+1}=6^x\cdot 6^1=6\cdot 6^x$

Подставим эти значения в уравнение: $9^x+8\cdot 4^x=6\cdot 6^x$2. Приведение к однородному виду Заметим, что основания степеней представляют собой квадраты и их произведение:

• $9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2$ $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$ $6^x=(2\cdot 3{)}^x=2^x\cdot 3^x$

Перепишем уравнение: $(3^x{)}^2-6\cdot (3^x\cdot 2^x)+8\cdot (2^x{)}^2=0$Это однородное уравнение второго порядка. Чтобы решить его, разделим обе части на $(2^x{)}^2$ (так как $2^x\ne 0$): $\frac{(3^x{)}^2}{(2^x{)}^2}-\frac{6\cdot 3^x\cdot 2^x}{(2^x{)}^2}+\frac{8\cdot (2^x{)}^2}{(2^x{)}^2}=0$ Получаем: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-6\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+8=0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда уравнение принимает вид квадратного: $t^2-6t+8=0$Решим через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=6$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=8$

Корни уравнения: $t_1=2$ $t_2=4$ 4. Обратная подстановка Теперь найдем $x$ для каждого значения $t$. Случай 1: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=2$ $x_1={\log }_{1,5}2$Или через натуральный логарифм: $x_1=\frac{\ln 2}{\ln 1,5}$ Случай 2: ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=4$ $x_2={\log }_{1,5}4$Так как $4=2^2$, можно записать как: $x_2=2{\log }_{1,5}2=2x_1$ Ответ: $x_1={\log }_{1,5}2$ $x_2={\log }_{1,5}4$Хотите, чтобы я проверил эти корни или помог привести их к другому логарифмическому основанию (например, десятичному)?