Sin+(cosx/2-sinx/2)(cosx/2+sinx/2)=0

Для решения уравнения $\sin x+(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})=0$ воспользуемся формулами сокращенного умножения и тригонометрическими тождествами. 1. Упрощение выражения в скобках Заметим, что вторая часть уравнения представляет собой разность квадратов вида $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$ 2. Применение тригонометрических формул Согласно формуле косинуса двойного угла $\cos \left(2\alpha \right)={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$, выражение ${\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$ сводится к: ${\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\cos (2\cdot \frac{x}{2})=\cos x$ Теперь подставим это в исходное уравнение: $\sin x+\cos x=0$3. Решение однородного уравнения Полученное уравнение является линейным однородным уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то $\sin x$ должен быть равен 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству): $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=\frac{0}{\cos x}$ $\tan x+1=0$ $\tan x=-1$4. Нахождение корней Значение тангенса равно $-1$ в точках: $x=\arctan \left(-1\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам произвести отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.