Sinx/2*cosx/2

Выражение $\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}$ представляет собой часть формулы синуса двойного угла. 1. Упрощение через формулу двойного угла Основная формула синуса двойного угла выглядит так: $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$Если заменить $\alpha$ на $\frac{x}{2}$ , то формула примет вид: $\sin (2\cdot \frac{x}{2})=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ Отсюда следует, что исходное выражение равно половине синуса целого угла: $\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$ 2. Применение в тригонометрических уравнениях Это преобразование часто используется для упрощения выражений или решения уравнений методом введения вспомогательного угла. Например, если в задаче дано $\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{4}$ , то:

1. Подставляем упрощенную форму: $\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{4}$ . Умножаем на 2: $\sin x=\frac{1}{2}$ . Находим корни: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ .

3. Связь с другими формулами Также это выражение можно вывести через формулы половинного угла, используя радикалы:

• $\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ $\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

При их перемножении получается $\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^{2}x}}{2}=\pm \frac{\sqrt{{\sin }^{2}x}}{2}=\frac{\sin x}{2}$ . Какое преобразование или вычисление с этим выражением необходимо выполнить далее?