В конус вписан шар радиуса r. образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60 найдите объем конуса.

Объем конуса равен $3\pi r^3$. ️ Шаг 1: Анализ осевого сечения Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, в который вписан круг радиуса $r$. Угол при основании этого треугольника по условию равен ${60}^{\circ }$. Так как сумма углов треугольника составляет ${180}^{\circ }$, угол при вершине также равен ${180}^{\circ }-2\cdot {60}^{\circ }={60}^{\circ }$. Следовательно, осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник. ️ Шаг 2: Определение параметров конуса через радиус шара Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности $r$ связан с его высотой $H$ и стороной $a$ следующими соотношениями: $H=3r$В осевом сечении высота $H$ также является высотой конуса. Сторона треугольника $a$ является диаметром основания конуса, то есть $a=2R$. Для равностороннего треугольника высота выражается через сторону как $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Подставим значения: $3r=\frac{2R\sqrt{3}}{2}$ $3r=R\sqrt{3}$ Отсюда находим радиус основания конуса: $R=\frac{3r}{\sqrt{3}}=r\sqrt{3}$ ️ Шаг 3: Вычисление объема конуса Объем конуса вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$ . Подставим полученные выражения для $R$ и $H$: $V=\frac{1}{3}\pi (r\sqrt{3}{)}^2\cdot 3r$ $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 3r^2\cdot 3r$ $V=3\pi r^3$ Ответ: Объем конуса выражается через радиус вписанного шара как $3\pi r^3$. Хотите ли вы рассмотреть решение этой задачи для произвольного угла при основании конуса?