Докажите что высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника , делит треугольник на два подобных треугольника.

Для доказательства того, что высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два подобных, мы воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам. Формулировка задачи Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C={90}^{\circ }$. Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$ (точка $H$ лежит на $AB$). Необходимо доказать, что $△ACH\sim △CBH$. Доказательство 1. Рассмотрение углов исходного треугольника Пусть в треугольнике $ABC$:

• $\angle BAC=\alpha$ $\angle ABC=\beta$

Так как сумма углов треугольника равна ${180}^{\circ }$, а $\angle C={90}^{\circ }$, то: $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$2. Анализ треугольника $ACH$ Треугольник $ACH$ является прямоугольным, так как $CH⟂AB$ (следовательно, $\angle AHC={90}^{\circ }$).

• $\angle HAC=\alpha$ (общий с исходным треугольником). Тогда второй острый угол $\angle ACH={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$. Поскольку ранее мы установили, что ${90}^{\circ }-\alpha =\beta$, получаем:
  $\angle ACH=\beta$

3. Анализ треугольника $CBH$ Треугольник $CBH$ также является прямоугольным ( $\angle CHB={90}^{\circ }$).

• $\angle HBC=\beta$ (общий с исходным треугольником). Тогда второй острый угол $\angle BCH={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\beta ={90}^{\circ }-\beta$. Поскольку ${90}^{\circ }-\beta =\alpha$, получаем:
  $\angle BCH=\alpha$

4. Сопоставление углов Теперь сравним треугольники $ACH$ и $CBH$:

• В $△ACH$: углы равны ${90}^{\circ }$, $\alpha$ и $\beta$. В $△CBH$: углы равны ${90}^{\circ }$, $\beta$ и $\alpha$.

Вывод Так как углы треугольника $ACH$ соответственно равны углам треугольника $CBH$ ( $\angle AHC=\angle CHB$, $\angle HAC=\angle BCH$, $\angle ACH=\angle HBC$), данные треугольники подобны по двум углам.

Примечание: Стоит также заметить, что каждый из этих малых треугольников подобен исходному большому треугольнику $ABC$ по тому же признаку (равенство углов $\alpha$, $\beta$ и ${90}^{\circ }$).

Хотите, чтобы я вывел метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, которые следуют из этого подобия (например, формулу высоты через отрезки гипотенузы)?