Log2-x (2x^2 -5x+2) =2

Для решения уравнения ${\log }_{2-x}(2x^2-5x+2)=2$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен, если его основание положительно и не равно единице, а аргумент строго больше нуля:

1. Основание: $2-x>0⟹x<2$. Основание не равно 1: $2-x\ne 1⟹x\ne 1$. Аргумент: $2x^2-5x+2>0$.
   • Найдем корни уравнения $2x^2-5x+2=0$:
     $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$.
     $x_1=\frac{5+3}{4}=2$ ; $x_2=\frac{5-3}{4}=0.5$ . Решение неравенства: $x\in (-\infty ;0.5)\cup (2;+\infty )$.

Итоговая ОДЗ: Пересечение условий $x<2$, $x\ne 1$ и $x\in (-\infty ;0.5)\cup (2;+\infty )$ дает интервал $x<0.5$. 2. Решение уравнения По определению логарифма ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$: $(2-x{)}^2=2x^2-5x+2$Раскроем квадрат в левой части: $4-4x+x^2=2x^2-5x+2$Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $x^2-x-2=0$3. Нахождение корней квадратного уравнения Решим уравнение $x^2-x-2=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$. $x_1=\frac{1+3}{2}=2$ . $x_2=\frac{1-3}{2}=-1$ .

4. Проверка корней по ОДЗ

• $x_1=2$: не входит в ОДЗ (основание логарифма должно быть $2-x>0$, при $x=2$ оно равно 0, что недопустимо). $x_2=-1$: входит в ОДЗ ( $-1<0.5$).

Ответ: -1