В основании тетраэдра лежит треугольник со сторонами 10 11 12. параллельно основанию проведена плоскость так, что высота тетраэдра делится ею ровно пополам. найдите площадь сечения тетраэдра этой плоскостью.

Площадь сечения тетраэдра данной плоскостью составляет $\frac{33\sqrt{39}}{16}$ . Шаг 1: Вычисление площади основания Для нахождения площади основания тетраэдра, представляющего собой треугольник со сторонами $a=10$, $b=11$, $c=12$, воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $p$: $p=\frac{10+11+12}{2}=16.5$ Теперь вычислим площадь основания $S_{osn}$: $S_{osn}=\sqrt{16.5(16.5-10)(16.5-11)(16.5-12)}=\sqrt{16.5\cdot 6.5\cdot 5.5\cdot 4.5}$ Представим числа в виде дробей для упрощения: $S_{osn}=\sqrt{\frac{33}{2}\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{11}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{33\cdot 13\cdot 11\cdot 9}=\frac{33\sqrt{39}}{4}$ Шаг 2: Определение коэффициента подобия Сечение, параллельное основанию пирамиды (или тетраэдра), отсекает многоугольник, подобный основанию. Коэффициент подобия $k$ равен отношению расстояния от вершины до секущей плоскости к высоте тетраэдра. Так как плоскость делит высоту пополам, расстояние от вершины до плоскости составляет $1/2$ от всей высоты $H$: $k=\frac{H/2}{H}=\frac{1}{2}$ Шаг 3: Нахождение площади сечения Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{sec}}{S_{osn}}=k^2$ Подставим известные значения: $S_{sec}=S_{osn}\cdot k^2=\frac{33\sqrt{39}}{4}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{33\sqrt{39}}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{33\sqrt{39}}{16}$ Ответ: Площадь сечения равна $\frac{33\sqrt{39}}{16}$ . Хотите ли вы перевести это значение в десятичную дробь для практических расчетов?