Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами окружности, равенством треугольников и определением равных дуг. Дано

• Окружность с центром в точке $O$. Две равные дуги этой окружности: $\cup AB=\cup CD$. Хорды $AB$ и $CD$, стягивающие эти дуги.

Доказать

• $AB=CD$.

Доказательство 1. Определение равных дуг По определению, в одной окружности (или в равных окружностях) равные дуги имеют равные градусные меры. Следовательно, центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $\angle AOB=\angle COD$2. Построение и анализ треугольников Рассмотрим два треугольника: $△AOB$ и $△COD$.

• Стороны $OA,OB,OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно:
  $OA=OB=OC=OD=R$ Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COD$ (согласно пункту 1).

3. Признак равенства треугольников Треугольники $△AOB$ и $△COD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $OA=OC$ (как радиусы); $OB=OD$ (как радиусы); $\angle AOB=\angle COD$ (как центральные углы, опирающиеся на равные дуги).

Следовательно, $△AOB=△COD$. 4. Вывод В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Стороны $AB$ и $CD$ лежат против равных углов в равных треугольниках, значит: $AB=CD$Что и требовалось доказать. Я могу составить для вас аналогичное доказательство обратной теоремы (о том, что равные хорды стягивают равные дуги) или подготовить подборку задач на применение этого свойства. Хотите, чтобы я сделал это?