В прямоугольном параллелепипеде основанием является квадрат. диагональ параллелепипеда равна d и образует угол α с боковым ребром, имеющим с ней общее начало.найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен $\mathbf{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{d}}^{\mathbf{3}}{\sin }^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathbf{\alpha }\mathbf{\right)}\cos \mathbf{\left(}\mathbf{\alpha }\mathbf{\right)}$ . Шаг 1: Определение высоты параллелепипеда Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $d$, боковым ребром и диагональю основания. По условию, угол между диагональю параллелепипеда и боковым ребром равен $\alpha$. Поскольку боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, оно является катетом этого треугольника, а диагональ — гипотенузой. Высота параллелепипеда $h$ (длина бокового ребра) вычисляется как: $h=d\cos \left(\alpha \right)$Шаг 2: Определение диагонали и площади основания В том же прямоугольном треугольнике второй катет является диагональю основания $d_{ocн}$. Ее длина равна: $d_{ocн}=d\sin \left(\alpha \right)$Так как основанием является квадрат со стороной $a$, его диагональ связана со стороной соотношением $d_{ocн}=a\sqrt{2}$ . Площадь квадрата $S$ выражается через его диагональ по формуле $S=\frac{1}{2}{d}_{ocн}^2$ . Подставим значение диагонали: $S=\frac{1}{2}\left(d\sin \right(\alpha ){)}^2=\frac{d^2{\sin }^2\left(\alpha \right)}{2}$ Шаг 3: Вычисление объема Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ находится как произведение площади основания $S$ на высоту $h$: $V=S\cdot h=\frac{d^2{\sin }^2\left(\alpha \right)}{2}\cdot d\cos \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{d}^3{\sin }^2\left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$ Ответ: Объем параллелепипеда выражается формулой $\mathbf{V}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{d}}^{\mathbf{3}}{\sin }^{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathbf{\alpha }\mathbf{\right)}\cos \mathbf{\left(}\mathbf{\alpha }\mathbf{\right)}$ . Нужны ли вам дополнительные пояснения по тригонометрическим соотношениям или расчету площади квадрата через диагональ?