Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Для доказательства этого утверждения, известного как теорема о параллелограмме, воспользуемся свойствами векторов. Этот метод является наиболее изящным и коротким. Формулировка Пусть $ABCD$ — параллелограмм, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Требуется доказать, что: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$Доказательство через векторы

1. Введем обозначения:
   Пусть вершины параллелограмма заданы векторами, исходящими из точки $A$. Обозначим:
   • $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$ $\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}$
   Выразим диагонали через векторы:
   По правилу параллелограмма и правилу треугольника для сложения и вычитания векторов:
   • Диагональ $\overrightarrow{AC}$ (сумма векторов): ${\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ Диагональ $\overrightarrow{DB}$ (разность векторов): ${\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$
   Используем свойство скалярного квадрата:
   Напомним, что квадрат длины вектора равен скалярному квадрату этого вектора: $|\mathbf{v}{|}^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$.
   Вычислим квадраты длин диагоналей:
   • $d_1^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})={\mathbf{a}}^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+{\mathbf{b}}^2$ $d_2^2=|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})={\mathbf{a}}^2-2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+{\mathbf{b}}^2$
   Сложим полученные выражения:
   $d_1^2+d_2^2=({\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2)+({\mathbf{a}}^2-2\mathbf{a}\mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2)$Заметим, что слагаемые с удвоенным скалярным произведением $2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$ имеют противоположные знаки и при сложении взаимно уничтожаются:
   $d_1^2+d_2^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2+{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2$ $d_1^2+d_2^2=2{\mathbf{a}}^2+2{\mathbf{b}}^2$ Перейдем к длинам сторон:
   Так как ${\mathbf{a}}^2=a^2$ и ${\mathbf{b}}^2=b^2$, получаем итоговое равенство:
   $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$

Геометрическая интерпретация В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому сумма квадратов всех четырех сторон равна $a^2+b^2+a^2+b^2=2(a^2+b^2)$. Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей в точности равна сумме квадратов всех сторон фигуры. Что и требовалось доказать. Могу также продемонстрировать доказательство этой теоремы через теорему косинусов, если вам требуется классический геометрический подход без использования векторов.