Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30o, то...а) катет равен половине гипотенузы б) гипотенуза равна катету в) катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы г) гипотенуза больше катета

Правильный ответ: в) катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Геометрическое обоснование Данное утверждение является фундаментальной теоремой в курсе геометрии. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен ${30}^{\circ }$, то противолежащий ему катет всегда будет в два раза меньше гипотенузы. Это можно доказать, достроив данный треугольник до равностороннего. Если мы отразим прямоугольный треугольник относительно его большего катета, мы получим треугольник, у которого все углы равны ${60}^{\circ }$. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а высота является медианой, то есть делит сторону пополам. Таким образом, катет исходного треугольника составляет половину стороны получившегося равностороннего треугольника, которая одновременно является его гипотенузой. Математически это выражается формулой: $a=\frac{1}{2}c$ где $a$ — катет, лежащий против угла в ${30}^{\circ }$, а $c$ — гипотенуза. Тригонометрическое доказательство Свойство также легко выводится через тригонометрические функции. По определению, синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \left({30}^{\circ }\right)=\frac{a}{c}$ Так как значение $\sin \left({30}^{\circ }\right)$ является табличной величиной и равно $0,5$, мы получаем: $\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$ Это подтверждает, что катет $a$ равен половине гипотенузы $c$. Анализ остальных вариантов

• а) катет равен половине гипотенузы: Утверждение не совсем точное, так как оно не указывает, какой именно из двух катетов обладает этим свойством. Второй катет (прилежащий к углу ${30}^{\circ }$) равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы. б) гипотенуза равна катету: Это невозможно в евклидовой геометрии, так как гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. г) гипотенуза больше катета: Это утверждение верно для любого прямоугольного треугольника, но оно не описывает специфическую особенность угла в ${30}^{\circ }$.

Хотите разобрать задачу на применение этого свойства или рассмотреть обратную теорему?