Знак n! означает произведение всех натуральных чисел от 1 до числа n n! = 1·2·3·4· … ·n. найдите наименьшее значение n, при котором n! делится на 2012.

Для того чтобы число $n!$ делилось на 2012, необходимо, чтобы в разложении $n!$ на простые множители присутствовали все простые множители числа 2012 в соответствующих степенях. 1. Разложение числа 2012 на простые множители Сначала найдем делители числа 2012:

1. Заметим, что число четное: $2012=2\cdot 1006$. Число 1006 также четное: $1006=2\cdot 503$. Проверим число 503 на простоту. Квадратный корень из 503 примерно равен 22.4. Проверяя простые числа до 23 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23), убеждаемся, что 503 не делится ни на одно из них. Следовательно, 503 — простое число.

Таким образом, каноническое разложение числа 2012 выглядит так: $2012=2^2\cdot 503$2. Поиск минимального n Чтобы $n!$ делилось на $2^2\cdot 503$, в произведении $1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$ должны встретиться:

• Множитель 503.
• Множители, дающие в произведении как минимум $2^2$ (то есть 4).

Так как 503 — простое число, оно впервые появится в факториале только тогда, когда $n$ достигнет значения 503. Рассмотрим $n=503$: $503!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 503$В этом произведении:

1. Уже присутствует число 503.
2. Присутствуют числа 2 и 4, которые в совокупности дают степень двойки гораздо выше второй (на самом деле, только чисел 2 и 4 достаточно, чтобы обеспечить делимость на $2^3$).

Следовательно, $503!$ делится на $503$ и на $4$, а значит, и на $2012$. При любом $n<503$ множитель 503 в разложении отсутствовал бы, так как 503 — простое число. Ответ: Наименьшее значение $n$ равно 503. Я могу помочь вам найти наименьшее $n$ для деления факториала на любое другое составное число или объяснить формулу Лежандра для поиска степени простого числа в факториале. Хотите рассмотреть более сложный пример?