Сечением конуса плоскостью, содержащей его вершину, является прямоугольный треугольник. оно делит боковую поверхность конуса на две части, площади которых относятся как 1:2. радиус основания конуса равен r. найдите объем конуса.

Объем конуса равен $\frac{\pi r^3\sqrt{2}}{6}$ . ️ Шаг 1: Анализ треугольника сечения Сечением конуса, проходящим через его вершину $S$, является равнобедренный треугольник $SAB$, где $SA$ и $SB$ — образующие конуса ( $SA=SB=l$), а $AB$ — хорда в основании. По условию треугольник $SAB$ прямоугольный. Поскольку он равнобедренный, прямой угол может быть только при вершине $S$. По теореме Пифагора для треугольника $SAB$: $A{B}^2=S{A}^2+S{B}^2=l^2+l^2=2l^2$Откуда длина хорды $AB=l\sqrt{2}$ . ️ Шаг 2: Использование отношения площадей боковой поверхности Плоскость сечения делит боковую поверхность конуса на две части. Площадь боковой поверхности сектора пропорциональна длине дуги основания. Если площади относятся как $1:2$, то и соответствующие дуги основания относятся как $1:2$. Полная окружность составляет ${360}^{\circ }$. Следовательно, меньшая дуга $AB$ имеет градусную меру: $\alpha =\frac{1}{1+2}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$ Таким образом, центральный угол $\angle AOB$ в основании конуса (где $O$ — центр основания) равен ${120}^{\circ }$. ️ Шаг 3: Нахождение связи между образующей и радиусом Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. $OA=OB=r$, $\angle AOB={120}^{\circ }$. По теореме косинусов для хорды $AB$: $A{B}^2=r^2+r^2-2r^2\cos \left({120}^{\circ }\right)=2r^2-2r^2(-\frac{1}{2})=3r^2$ Приравняем два выражения для $A{B}^2$, полученные в первом и третьем шагах: $2l^2=3r^2⟹l^2=\frac{3}{2}{r}^2$ ️ Шаг 4: Вычисление высоты и объема конуса Высота конуса $H$ связана с образующей $l$ и радиусом $r$ соотношением $H^2=l^2-r^2$. Подставим значение $l^2$: $H^2=\frac{3}{2}{r}^2-r^2=\frac{1}{2}{r}^2⟹H=\frac{r}{\sqrt{2}}$ Объем конуса вычисляется по формуле $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$ : $V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{r}{\sqrt{2}}=\frac{\pi r^3}{3\sqrt{2}}=\frac{\pi r^3\sqrt{2}}{6}$ Ответ: $V=\frac{\mathbf{\pi }{\mathbf{r}}^{\mathbf{3}}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}}$ Укажите, требуется ли вывод формулы через интегралы или проверка решения для случая другого отношения площадей?