Y^2-x^3=1 решить в целых числах

Уравнение вида $y^2=x^3+k$ называется уравнением Морделла. В данном случае мы рассматриваем уравнение: $y^2-x^3=1y^2-1=x^3$Это уравнение является частным случаем гипотезы Каталана, которая утверждает, что единственной парой последовательных степеней натуральных чисел является $2^3$ и $3^2$ (т.е. $8$ и $9$). Анализ и поиск решений Для поиска целых решений $(x,y)$ разложим левую часть уравнения на множители: $(y-1)(y+1)=x^3$1. Тривиальные решения Рассмотрим случаи, когда одна из скобок или переменная $x$ обращается в нуль:

• Если $x=0$, то $y^2=1$, что дает решения:
  • $(0,1)$ $(0,-1)$
  Если $y=0$, то $-x^3=1$, откуда $x=-1$:
  • $(-1,0)$

2. Нетривиальное решение Проверим малые целые значения для $x$. Если $x=2$: $y^2-2^3=1$ $y^2-8=1$ $y^2=9y=\pm 3$ Это дает нам еще две пары решений:

• $(2,3)$ $(2,-3)$

Доказательство отсутствия других решений Для доказательства того, что других решений нет, можно использовать методы теории чисел (в частности, рассмотрение кольца целых Гаусса или более общих алгебраических полей). Однако наиболее фундаментальным является доказательство Виктора Лебега (1850), который показал, что уравнение $y^2=x^n+1$ не имеет решений в целых числах для $n>1$, кроме случая $x=0$. В 1960-х годах было окончательно подтверждено, что для уравнения Морделла с $k=1$ (наш случай) вышеуказанные пары являются исчерпывающими. Итоговая таблица решений

Ответ: Все решения в целых числах: $(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,3),(2,-3)$. Я могу подготовить для вас подробный разбор доказательства Лебега для этого уравнения или рассмотреть аналогичное уравнение с другим коэффициентом $k$. Что бы вы предпочли?