1) решите уравнения 1)tg(2x-π/6)=1 2)ctg(x/2+π/8)=√32) найдите решения,лежащие в указанном промежутке, и запишите их в градусах:2sin^2( 2x)+sinx=1

Для решения тригонометрических уравнений воспользуемся стандартными формулами и методами подстановки. Поскольку для третьего уравнения промежуток не указан в тексте, решение будет представлено в общем виде с последующим переводом в градусы. ️ Шаг 1: Решение уравнения с тангенсом Уравнение имеет вид $\tan (2x-\frac{\pi }{6})=1$ . Используем общую формулу $\tan \alpha =1\alpha =\frac{\pi }{4}+\pi k$ : $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+\pi k$ $2x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+\pi k$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +2\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$ . $2x=\frac{5\pi }{12}+\pi kx=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 2: Решение уравнения с котангенсом Уравнение имеет вид $\cot (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{8})=\sqrt{3}$ . Используем формулу $\cot \alpha =\sqrt{3}\alpha =\frac{\pi }{6}+\pi k$ : $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{6}+\pi k$ $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{8}+\pi k$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{8}=\frac{4\pi -3\pi }{24}=\frac{\pi }{24}$ . $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{24}+\pi kx=\frac{\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 3: Решение уравнения $2{\sin }^2\left(2x\right)+\sin \left(x\right)=1$ Данное уравнение приводится к виду $8{\sin }^{4}x-8{\sin }^{2}x-\sin x+1=0$ через формулу двойного угла. Заметим, что $\sin x=1$ является корнем: $8(1{)}^4-8(1{)}^2-1+1=0$. Для $\sin x=1$: $x={90}^{\circ }+{360}^{\circ }n$. Также уравнение можно преобразовать как $1-2{\sin }^2\left(2x\right)=\sin x\cos \left(4x\right)=\sin x$. Решая $\cos \left(4x\right)=\cos ({90}^{\circ }-x)$, получаем:

1. $4x={90}^{\circ }-x+{360}^{\circ }k5x={90}^{\circ }+{360}^{\circ }kx={18}^{\circ }+{72}^{\circ }k$. $4x=-({90}^{\circ }-x)+{360}^{\circ }k3x={-90}^{\circ }+{360}^{\circ }kx={-30}^{\circ }+{120}^{\circ }k$.

Ответ:

1. $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x={18}^{\circ }+{72}^{\circ }k$ и $x={-30}^{\circ }+{120}^{\circ }k,k\in \mathbb{Z}$

Уточните, пожалуйста, границы промежутка для третьего уравнения, чтобы я мог выбрать конкретные значения корней в градусах.