√11-√10 и √6-√5 сравнить

Чтобы сравнить выражения $A=\sqrt{11}-\sqrt{10}$ и $B=\sqrt{6}-\sqrt{5}$ , можно воспользоваться методом сопряженных чисел или анализом функции. Способ 1: Метод сопряжения Домножим и разделим каждое выражение на сопряженное ему (на сумму этих же корней), чтобы избавиться от разности в числителе:

1. Для первого выражения:
   $A=\sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{11-10}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$ Для второго выражения:
   $B=\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{6-5}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

Теперь сравним полученные дроби:

• Знаменатель первого числа: $\sqrt{11}+\sqrt{10}$ Знаменатель второго числа: $\sqrt{6}+\sqrt{5}$

Очевидно, что $\sqrt{11}>\sqrt{6}$ и $\sqrt{10}>\sqrt{5}$ , следовательно: $\sqrt{11}+\sqrt{10}>\sqrt{6}+\sqrt{5}$ Так как числители дробей равны ( $1$), то та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Поскольку $\sqrt{11}+\sqrt{10}$ больше, чем $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ , сама дробь $A$ будет меньше дроби $B$. Результат: $\sqrt{11}-\sqrt{10}<\sqrt{6}-\sqrt{5}$ Способ 2: Использование производной Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ при $x>0$. Ваши числа — это значения этой функции в точках $10$ и $5$:

• $A=f\left(10\right)$ $B=f\left(5\right)$

Найдем производную этой функции: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ Так как $\sqrt{x+1}>\sqrt{x}$ для всех положительных $x$, то $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Следовательно, $f^{\prime }\left(x\right)<0$. Это означает, что функция $f\left(x\right)$ убывает на всей области определения. У убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $10>5$, то $f\left(10\right)<f\left(5\right)$. Результат: $\sqrt{11}-\sqrt{10}<\sqrt{6}-\sqrt{5}$ Хотите разобрать аналогичный пример с кубическими корнями или сравнить числа методом возведения в квадрат?