2 sin^3x -2sinx + cos^2x=0. найдите все корни принадлежащие отрезку [-7pi/2, -2pi]

Корнями уравнения на заданном отрезке являются значения $-\frac{7\pi }{2}$ , $-\frac{19\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{2}$ . Шаг 1: Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$: $2{\sin }^{3}x-2\sin x+(1-{\sin }^{2}x)=0$ $2{\sin }^{3}x-{\sin }^{2}x-2\sin x+1=0$Шаг 2: Разложение на множители Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $(2{\sin }^{3}x-2\sin x)-({\sin }^{2}x-1)=0$ $2\sin x({\sin }^{2}x-1)-1({\sin }^{2}x-1)=0$ $({\sin }^{2}x-1)(2\sin x-1)=0$Это уравнение распадается на два случая:

1. ${\sin }^{2}x-1=0\sin x=\pm 1x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $2\sin x-1=0\sin x=\frac{1}{2}x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Шаг 3: Отбор корней на отрезке $[-\frac{7\pi }{2},-2\pi ]$ Проверим каждую серию решений:

• Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ :
  • При $k=-4$: $x=\frac{\pi }{2}-4\pi =-\frac{7\pi }{2}$ (входит) При $k=-3$: $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}$ (входит)
  Для $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ :
  • При $n=-1$: $x=\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}\approx -1.83\pi$ (вне отрезка) При $n=-2$: $x=\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{23\pi }{6}\approx -3.83\pi$ (вне отрезка)
  Для $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ :
  • При $n=-1$: $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}\approx -1.16\pi$ (вне отрезка) При $n=-2$: $x=\frac{5\pi }{6}-4\pi =-\frac{19\pi }{6}\approx -3.16\pi$ (входит, так как $-3.5\pi \le -3.16\pi \le -2\pi$)

Ответ: $-\frac{7\pi }{2};-\frac{19\pi }{6};-\frac{5\pi }{2}$ Нужно ли вам графическое изображение расположения этих точек на тригонометрическом круге для проверки?